Question

如圖所示，x軸上方有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里．x軸下方有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E、方向與y軸的夾角θ=45°斜向上方．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電量為q的正離子，以速度v₀由y軸上的A點(diǎn)沿y軸正方向射入磁場(chǎng)，該離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后從x軸上的C點(diǎn)（圖中未畫出）進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域，離子經(jīng)C點(diǎn)時(shí)的速度方向與電場(chǎng)方向相反．設(shè)磁場(chǎng)和電場(chǎng)區(qū)域均足夠大，不計(jì)離子的重力，求：
（1）離子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿過x軸上的D（圖中未畫出）與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離；
（2）離子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越x軸時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）離子第四次穿越x軸時(shí)速度的大小及速度方向與電場(chǎng)方向的夾角．并大致畫出離子前四次穿越x軸在磁場(chǎng)和電場(chǎng)區(qū)域中的運(yùn)動(dòng)軌跡．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)粒子洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律與幾何關(guān)系，即可求解；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡的幾何關(guān)系，來確定圓心角，并結(jié)合周期公式與牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解；
（3）根據(jù)粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)處理規(guī)律，由運(yùn)動(dòng)的分解，并結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解．

解答：解：（1）離子射入磁場(chǎng)中在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．由牛頓第二定律得qvB=m

v02

R

①
設(shè)D點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為x_D
由幾何關(guān)系得xD=R+Rcos450+

2

R②
由由①②式得xD=(

2+3 2

2

)

mv0

qB

（2）由軌跡圖可知，在磁場(chǎng)中第一次偏轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)的圓心角為β1=

5π

4

，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁；
第二次偏轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)的圓心角為β2=

π

2

，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂；
則帶點(diǎn)粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=

β

2π

T③
T=

2πr

v0

④
帶點(diǎn)粒子在電場(chǎng)中做類豎直上拋運(yùn)動(dòng)，
設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，有-v₀-v₀=at₂⑤
而a=

qE

m

⑥
離子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越x軸時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=t₁+t₂+t₃⑦
解③⑦式得t=

7

4

πm

qB

+

2mv0

qE

（3）離子從第三次過x軸到第四次過x軸的過程在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
設(shè)沿著v₀的方向?yàn)閤′軸，離子沿x′軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)，
設(shè)沿著電場(chǎng)的方向?yàn)閥′軸，離子沿y′軸做初速為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)x₁=v₀t⑧
y1=

vy/

2

t⑨
由圖中幾何關(guān)系知 

y1

x1

=tan450⑩
設(shè)離子第四次穿越x軸時(shí)速度的大小為v，速度方向與電場(chǎng)方向的夾角為α.v=

v 2 0 + v 2 y/

（11）
tanα=

v0

vy/

（12）
由⑤～11式得v=

5

v0
α=arctan

1

2

答：（1）離子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿過x軸上的D（圖中未畫出）與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離xD=(

2+3 2

2

)

mv0

qB

；
（2）離子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越x軸時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

7

4

πm

qB

+

2mv0

qE

；
（3）離子第四次穿越x軸時(shí)速度的大小v=

5

v0及速度方向與電場(chǎng)方向的夾角α=arctan

1

2

．并大致畫出離子前四次穿越x軸在磁場(chǎng)和電場(chǎng)區(qū)域中的運(yùn)動(dòng)軌跡如上所示．

點(diǎn)評(píng)：考查粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)與類平拋運(yùn)動(dòng)，掌握牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，理解圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式與周期公式，掌握幾何關(guān)系在題中的應(yīng)用．