Question

如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個(gè)豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，B點(diǎn)為水平面與軌道的切點(diǎn)，在離B距離為x的A點(diǎn)，用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從靜止開始推到B處后撤去恒力，質(zhì)點(diǎn)沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C處后又正好落回A點(diǎn)：
 (1)    求推力對(duì)小球所做的功。
(2)    x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)推力所做的功最少?最小功為多少。
(3)    x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)推力最小?最小推力為多少。

Answer 1

（14分）(1)質(zhì)點(diǎn)從半圓弧軌道做平拋運(yùn)動(dòng)又回到A點(diǎn)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)的速度為v_C，質(zhì)點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間為t， 在水平方向： x=v_Ct ① 豎直方向上：2R=gt² ② 解①②有 v_C= ③ 對(duì)質(zhì)點(diǎn)從A到C由動(dòng)能定理有W_F-mg?2R=mv ④ 解W_F=mg(16R²+x²)/8R ⑤ (2)要使F力做功最少，確定x的取值，由W_F=2mgR+mv知，只要質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)速度最小，則功W_F就最小。若質(zhì)點(diǎn)恰好能通過C點(diǎn)，其在C點(diǎn)最小速度為v，由牛頓第二定律有mg=,則v= ⑥ 由③⑥有=,解得：x=2R ⑦ 當(dāng)x=2R時(shí)， W_F最小，最小的功：W_F=mgR ⑧ (3)由⑤式W_F=mg() 及W_F=F x 得：F=mg() ⑨ F 有最小值的條件是： =、即x=4R ⑩由⑨⑩得最小推力為：F=mg ⑾評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：①――⑾中，⑤⑥⑨式各2分，其余各式均1分