Question

7．在一次野外穿越中，某驢友遇到一壕溝，如圖所示．壕溝的底部O到驢友所在的位置A 處于同一豎直線上，高度差為2h，BC為水平平臺，C點到O點的水平距離為2h，到O點的豎直高度為h，壕溝曲線OB為拋物線，在圖示坐標系中，其方程為y=$\frac{x^2}{2h}$，驢友從A處沿水平方向跳出．（已知驢友的質(zhì)量為m，忽略空氣阻力，重力加速度為g）問：
（1）若驢友能落到平臺BC上，則他跳出時最小的速度多大？
（2）若驢友自A點跳出的速度為v₀=$\sqrt{\frac{1}{2}}$gh，求他落地點位置．
（3）若驢友跳出時的動能為$\frac{3mgh}{5}$，求他落地時的動能．

Answer 1

分析 （1）從A點做平拋運動，豎直方向自由落體運動，水平方向勻速運動，剛好到達B點速度最小，即可求得最小速度；
（2）做平拋運動，設落地點坐標為（x，y），即在拋體運動的軌跡上，又在OB的拋物線上，即可求得；
（3）先判斷出物體落地點，即可根據(jù)動能定理求得落地動能

解答 解：（1）恰好落到C對應最小的起跑速度v_C0
B點的水平坐標${x_B}=\sqrt{2h{y_B}}=\sqrt{2}h$
由平拋運動規(guī)律有x_B=v_bt       
 $2h-{y_B}=\frac{1}{2}g{t^2}$
解得：${v_b}=\sqrt{gh}$
（2）設運動的時間為t，落點坐標為x，y．x=v₀t
$2h-{y_{\;}}=\frac{1}{2}g{t^2}$
$y=\frac{x^2}{2h}$
解得$x=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}h$，$y=\frac{2}{3}h$
（3）落到B點時初動能${E_{Kb}}=\frac{1}{2}mgh$
落到C點時初動能${E_{Kc}}=\frac{1}{2}m{v_2}^2$
${v_c}=\frac{2h}{{\sqrt{\frac{2h}{g}}}}=\sqrt{2gh}$得  E_Kc=mgh
可見，初動能$\frac{3mgh}{5}$正好在兩個E_K之間，幫驢友落在平臺BC上．根據(jù)動能定理得E_k一E_k0=mgh
${E_k}=\frac{5mgh}{8}$
答：（1）若驢友能落到平臺BC上，則他跳出時最小的速度為$\sqrt{gh}$
（2）若驢友自A點跳出的速度為v₀=$\sqrt{\frac{1}{2}}$gh，他落地點位置為$（\frac{2\sqrt{3}}{3}h，\frac{2}{3}h）$．
（3）若驢友跳出時的動能為$\frac{3mgh}{5}$，他落地時的動能為$\frac{5mgh}{8}$．

點評 解決本題的關鍵知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合運動學公式和動能定理靈活求解．