Question

5．如圖所示，質(zhì)量為m的小球用一根細(xì)線懸掛在O點(diǎn)，用一個水平力作用在小球上，使細(xì)線與豎直方向成30°角時小球靜止，求：
（1）水平拉力的大�。�
（2）若使小球靜止在原位置，作用于小球的力可以沿不同的方向，則這個力與水平方向成多大的角度時，這個力最小？最小值為多大？
（3）若使小球靜止在原位置，作用于小球的力可以沿不同的方向，當(dāng)該力為mg時，則這個力與水平方向成多大角度？
（4）若使小球靜止，作用于小球的力可以沿不同的方向，當(dāng)該力為$\frac{3}{5}mg$時，若使細(xì)線與豎直方向的夾角最大，則該角度的正弦值為多少？

Answer 1

分析 （1）小球靜止時，合力為零，分析小球的受力情況，根據(jù)平衡條件求解水平拉力的大��；
（2）運(yùn)用作圖法分析什么條件下F最小，并求出最小值；
（3）根據(jù)矢量合成的方法分析即可；
（4）當(dāng)該力為$\frac{3}{5}mg$時時，結(jié)合（2）的分析即可解答．

解答 解：（1）小球靜止時，受到重力mg、細(xì)線的拉力T和水平拉力F，小球的合力為零，則有
水平方向：F=Tsin30°
豎直方向：Tcos30°=mg
聯(lián)立得：F=mgtan30°=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}mg$
（2）由圖1分析可知，當(dāng)F與細(xì)線垂直時F最小，即F與水平方向成30°斜向上時，F(xiàn)最小，有：
F_min=mgsin30°=$\frac{1}{2}mg$ 
（3）結(jié)合（2）的受力圖可知，當(dāng)F豎直向上時，拉力等于mg；
或根據(jù)等腰三角形的特點(diǎn)知，拉力的方向與水平方向成30°斜向下時，如圖2，此時：F=mg
（4）當(dāng)該力為$\frac{3}{5}mg$時，若使細(xì)線與豎直方向的夾角最大，則該力的方向與細(xì)線的方向垂直，所以該角度的正弦值為：
sinθ_max=$\frac{{\frac{3}{5}mg}}{mg}=\frac{3}{5}$
答：（1）水平拉力的大小是$\frac{{\sqrt{3}}}{3}mg$．
（2）若使小球靜止在原位置，作用于小球的力可以沿不同的方向，即F與水平方向成30°斜向上時，F(xiàn)最小，最小值為0.5mg；
（3）若使小球靜止在原位置，作用于小球的力可以沿不同的方向，當(dāng)該力為mg時，則這個力F豎直向上，即與水平方向成90°或拉力的方向與水平方向成30°斜向下時；
（4）若使小球靜止，作用于小球的力可以沿不同的方向，當(dāng)該力為$\frac{3}{5}mg$時，若使細(xì)線與豎直方向的夾角最大，則該角度的正弦值為$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評 本題是共點(diǎn)力平衡中極值問題，運(yùn)用作圖法或分析法得到幾種不同條件下的極值的條件是關(guān)鍵．