Question

10．如圖所示，傾角為a的斜面體（斜面光滑且足夠長）固定在水平地面上，斜面頂端與勁度系數(shù)為k、自然長度為L的輕質(zhì)彈簧相連，彈簧的另一端連接著質(zhì)量為m的物塊，壓縮彈簧使其長度為$\frac{3}{4}$L時將物塊由靜止開始釋放，且物塊在以后的運動中，斜面體始終處于靜止狀態(tài)，重力加速度為g．
（1）求物塊處于平衡位置時彈簧的長度；
（2）選物塊的平衡位置為坐標原點，沿斜面向下為正方向建立坐標軸，用x表示物塊相對于平衡位置的位移，證明物塊做簡諧運動；
（3）求彈簧的最大伸長量及物體運動的最大速度．

Answer 1

分析 （1）物塊處于平衡位置時，受重力、支持力和彈簧的彈力，三力平衡，根據(jù)平衡條件和胡克定律列式求解；
（2）抓住x表示物塊相對于平衡位置的位移，根據(jù)牛頓第二定律推導回復力是否滿足F=-kx，從而證明；
（3）簡諧運動具有對稱性，先求解出振幅，然后確定最大伸長量x；由功能關(guān)系即可求出物塊的最大速度．

解答 解：（1）物塊處于平衡位置時，受重力、支持力和彈簧的彈力，此時彈簧的彈力等于重力沿斜面分力，由平衡條件得
  k△x=mgsinα
故彈簧的伸長量△x=$\frac{mgsinα}{k}$
所以彈簧長度 L′=L+△x=L+$\frac{mgsinα}{k}$
（2）取沿斜面向下方向為x軸正方向建立x軸，原點在平衡位置．
當物塊的位移大小為x時，彈簧伸長量為x+△x，物塊所受合力為：
  F_合=mgsinα-k（x+△x）
結(jié)合k△x=mgsinα
聯(lián)立以上各式可得：F_合=-kx
可知物塊作簡諧運動．
（3）根據(jù)簡諧運動的對稱性，壓縮彈簧使其長度為$\frac{3}{4}$L時將物塊由靜止開始釋放，則開始時的壓縮量為$\frac{L}{4}$，故其振幅為：
  A=$\frac{L}{4}$+△x=$\frac{L}{4}$+$\frac{mgsinα}{k}$
故其最大伸長量為：x=A+△x=$\frac{L}{4}$+$\frac{mgsinα}{k}$+$\frac{mgsinα}{k}$=$\frac{L}{4}$+$\frac{2mgsinα}{k}$
由機械能守恒可知：$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}=\frac{1}{2}k{A}^{2}$
聯(lián)立得：${v}_{m}=A•\sqrt{\frac{k}{m}}$=$（\frac{L}{4}+\frac{mgsinα}{k}）•\sqrt{\frac{k}{m}}$
答：（1）物塊處于平衡位置時彈簧的長度L是L+$\frac{mgsinα}{k}$；
（2）證明見上；
（3）彈簧的最大伸長量x是$\frac{L}{4}$+$\frac{2mgsinα}{k}$，物體運動的最大速度為$（\frac{L}{4}+\frac{mgsinα}{k}）•\sqrt{\frac{k}{m}}$．

點評 本題結(jié)合簡諧振動考查牛頓第二定律、功能關(guān)系和胡克定律的綜合運用，理清過程，確定出平衡位置，得出振幅的大小是解決本題的關(guān)鍵．