Question

6．
如圖甲所示，兩平行金屬板間接有如圖乙所示的隨時(shí)間t變化的交流電壓u，金屬板間電場(chǎng)可看做均勻、且兩板外無電場(chǎng)，板長(zhǎng)L=0.2m，板間距離d=0.1m，在金屬板右側(cè)有一邊界為MN的區(qū)域足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN與兩板中線OO′垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5×10^-3T，方向垂直紙面向里．現(xiàn)有帶正電的粒子流沿兩板中線OO′連續(xù)射入電場(chǎng)中，已知每個(gè)粒子的速度v₀=10⁵m/s，比荷 $\frac{q}{m}$=10⁸C/kg，重力忽略不計(jì)，在0-0.8×10^-5s時(shí)間內(nèi)兩板間加上如圖乙所示的電壓（不考慮邊緣的影響）．已知t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子恰好在0.2×10^-5s時(shí)刻經(jīng)極板邊緣射入磁場(chǎng)．（不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況）
（1）求兩板間的電壓U₀
（2）0-0.2×10^-5s時(shí)間內(nèi)射入兩板間的帶電粒子都能夠從磁場(chǎng)右邊界射出，求磁場(chǎng)的最大寬度
（3）若以MN與兩板中線OO′垂直的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸，豎直向上為y軸建立二維坐標(biāo)系，請(qǐng)寫出在0.3×10^-5s時(shí)刻射入兩板間的帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)和離開磁場(chǎng)（此時(shí)，磁場(chǎng)只有左邊界）時(shí)的位置坐標(biāo)
（4）兩板間的電壓為0，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方案：讓向右連續(xù)發(fā)射的粒子流沿兩板中線OO′射入，經(jīng)過右邊的待設(shè)計(jì)的磁場(chǎng)區(qū)域后，帶電粒子又返回粒子源．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由題知，電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)距離y=$\fracsbpnnp5{2}$，根據(jù)牛頓第二定律和位移公式結(jié)合，可求得兩板間的電壓U₀．
（2）在0-0.2×10^-5S時(shí)間內(nèi)，0.2×10^-5s時(shí)刻射入兩板間的帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)并能夠從磁場(chǎng)右邊界射出，則其他粒子也都能從磁場(chǎng)的右邊界射出．粒子進(jìn)入磁場(chǎng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，由牛頓第二定律求出軌跡半徑，由幾何關(guān)系求解磁場(chǎng)的最大寬度．
（3）0.3×10^-5s時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，再做類平拋運(yùn)動(dòng)．由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出粒子通過電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)距離．由幾何關(guān)系求解帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)和離開磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)．
（4）兩板間的電壓為0，可在磁場(chǎng)右側(cè)加一方向垂直紙面向外的磁場(chǎng)，能使帶電粒子返回粒子源．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中作類平拋運(yùn)動(dòng)，則有
 $\frac6r1917n{2}$=$\frac{1}{2}$at² 
 L=v₀t
由牛頓第二定律得 a=$\frac{q{U}_{0}}{dm}$
聯(lián)立得 U₀=$\frac{mx4a3lu6^{2}{v}_{0}^{2}}{q{L}^{2}}$
代入解得 U₀=25V
（2）在0-0.2×10^-5S時(shí)間內(nèi)，0.2×10^-5s時(shí)刻射入兩板間的帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)并能夠從磁場(chǎng)右邊界射出，則其他粒子也都能從磁場(chǎng)的右邊界射出，如圖甲所示．粒子進(jìn)入磁場(chǎng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則：
  Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$     
得 R₁=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=$\frac{1{0}^{5}}{1{0}^{8}×5×1{0}^{-3}}$=0.2（m） 
磁場(chǎng)的最大寬度為  D=R₁=0.2 （m） 
（3）0.3×10^-5s時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，再做類平拋運(yùn)動(dòng)．類平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間應(yīng)為 t=0.1×10^-5s．
若向上偏轉(zhuǎn)，粒子的加速度為 a=$\frac{q{U}_{0}}{dm}$=$\frac{1{0}^{8}×25}{0.1}$=2.5×10¹⁰m/s²
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)公式得：y₁=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$×2.5×10¹⁰×（0.1×10^-5）²=0.0125（m）
則進(jìn)入磁場(chǎng)的位置坐標(biāo)為 （0，0.0125 m）
帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，R₂=$\frac{mv}{qB}$
離開磁場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo) y₂=y₁+2R₂cosθ=y₁+2•$\frac{mv}{qB}$cosθ=y₁+2•$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=0.0125+$\frac{2×1{0}^{5}}{5×1{0}^{-3}×1{0}^{8}}$=0.4125（m）
離開磁場(chǎng)左邊界坐標(biāo)為 （0，0.4125 m）
若向下偏轉(zhuǎn)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)公式得：y₁=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$×2.5×10¹⁰×（0.1×10^-5）²=0.0125（m）
進(jìn)入坐標(biāo)為 （ 0；-0.0125m） 
進(jìn)入磁場(chǎng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，R₂=$\frac{mv}{qB}$
離開磁場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo) y₂=2R₂cosθ-y₁=2•$\frac{m{v}_{0}}{qB}$-y₁
解得 y₂=0.3875（m）
離開磁場(chǎng)左邊界坐標(biāo)為 （0，0.3875m）
（4）在磁場(chǎng)右側(cè)加一方向垂直紙面向外的磁場(chǎng)，如圖所示，能使帶電粒子返回粒子源．
答：
（1）兩板間的電壓U₀為25V．
（2）0-0.2×10^-5s時(shí)間內(nèi)射入兩板間的帶電粒子都能夠從磁場(chǎng)右邊界射出，磁場(chǎng)的最大寬度為0.2m．
（3）若粒子向上偏轉(zhuǎn)，進(jìn)入磁場(chǎng)的位置坐標(biāo)為 （0，0.0125 m），離開磁場(chǎng)左邊界坐標(biāo)為 （0，0.4125 m）；
若向下偏轉(zhuǎn)，進(jìn)入坐標(biāo)為 （ 0，-0.0125m），離開磁場(chǎng)左邊界坐標(biāo)為 （0，0.3875m）
（4）在磁場(chǎng)右側(cè)加一方向垂直紙面向外的磁場(chǎng)，如圖所示，能使帶電粒子返回粒子源．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵要掌握類平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法：運(yùn)動(dòng)的分解法，掌握粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用幾何關(guān)系解答．