Question

9．如圖所示，兩根完全相同的光滑金屬導(dǎo)軌OP、OQ固定在水平桌面上，導(dǎo)軌間的夾角為θ=74°．導(dǎo)軌所在空間有垂直于桌面向下的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀=0.2T．t=0時(shí)刻，一長為L=1m的金屬桿MN在外力作用下以恒定速度v=0.2m/s從O點(diǎn)開始向右滑動．在滑動過程中金屬桿MN與導(dǎo)軌接觸良好，且始終垂直于兩導(dǎo)軌夾角的平分線，金屬桿的中點(diǎn)始終在兩導(dǎo)軌夾角的平分線上．導(dǎo)軌與金屬桿單位長度（1m）的電阻均為r₀=0.1Ω．sin 37°=0.6．
（1）求t₁=2s時(shí)刻，金屬桿中的感應(yīng)電動勢E和此時(shí)閉合回路的總長度．
（2）求t₁=2s時(shí)刻，閉合回路中的感應(yīng)電流I．
（3）若在t₁=2s時(shí)刻撤去外力，為保持金屬桿繼續(xù)以v=0.2m/s做勻速運(yùn)動，在金屬桿脫離導(dǎo)軌前可采取將B從B₀逐漸減小的方法，從撤去外力開始計(jì)時(shí)的時(shí)間為t₂，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)隨時(shí)間t₂怎樣變化（寫出B與t₂的關(guān)系式）．

Answer 1

分析 （1）先求出t₁=2s時(shí)導(dǎo)體棒的有效切割長度，求出切割產(chǎn)生的動生電動勢；根據(jù)三角形邊角關(guān)系計(jì)算閉合回路的總長度．
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出感生電動勢，再由歐姆定律求出回路中的電流強(qiáng)度I．
（3）若在t₁=2s時(shí)刻撤去外力，為保持金屬桿繼續(xù)以v=0.2m/s做勻速運(yùn)動，光滑金屬桿不再受到安培力作用，回路中感應(yīng)電流應(yīng)為零，磁通量不變，據(jù)此列式求解．

解答 解：（1）在t₁時(shí)刻，連入回路的金屬桿的長度
L=2vt₁tan 37°=1.5vt₁，
回路的電動勢E=B₀Lv=1.5 B₀v²t₁=0.024V，
回路的總長度：s=1.6m
（2）回路的電阻R=0.4vt₁=0.16Ω，
回路的電流I=$\frac{E}{R}$=0.75v=0.15 A．
（3）在t₁=2 s時(shí)刻撤去外力后，因金屬桿做勻速運(yùn)動，故光滑金屬桿不再受到安培力作用，回路的感應(yīng)電流為零，任一時(shí)刻回路磁通量相等Φ₁=Φ₂，
三角形回路的面積S=$\frac{3{v}^{2}{t}^{2}}{4}$，
t₁=2s時(shí)刻回路的磁通量Φ₁=B₀$\frac{3{v}^{2}{t}^{2}}{4}$，
再過時(shí)間t₂回路的磁通量Φ₂=B$\frac{3{v}^{2}{（{t}_{1}+{t}_{2}）}^{2}}{4}$，
B₀$\frac{3{v}^{2}{t}_{1}{\;}^{2}}{4}$=B$\frac{3{v}^{2}{（{t}_{1}+{t}_{2}）}^{2}}{4}$，
聯(lián)立解得B=$\frac{0.8}{{（{t}_{1}+{t}_{2}）}^{2}}$ （0 s≤t₂≤$\frac{4}{3}$s）．
或?qū)懗葿=$\frac{0.8}{{（{t}_{2}+2）}^{2}}$ （0 s≤t₂≤$\frac{4}{3}$s）．
答：（1）t₁=2s時(shí)刻，金屬桿中的感應(yīng)電動勢E為0.024V，此時(shí)閉合回路的總長度為1.6m．
（2）t₁=2s時(shí)刻，閉合回路中的感應(yīng)電流I為0.15 A．
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)隨時(shí)間t₂變化關(guān)系式為B=$\frac{0.8}{{（{t}_{1}+{t}_{2}）}^{2}}$ （0 s≤t₂≤$\frac{4}{3}$s）或?qū)懗葿=$\frac{0.8}{{（{t}_{2}+2）}^{2}}$ （0 s≤t₂≤$\frac{4}{3}$s）．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、電阻定律得到感應(yīng)電流不變，明確感應(yīng)電流產(chǎn)生的條件：磁通量變化，相反，磁通量不變時(shí)感應(yīng)電流為零．