Question

18．如圖所示，MN、PQ是兩條水平平行放置的光滑金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌的右端接理想變壓器的原線圈，變壓器的副線圈與電阻R=20Ω組成閉合回路，變壓器的原副線圈匝數(shù)之比n₁：n₂=1：10，導(dǎo)軌寬L=5m．質(zhì)量m=2kg、電阻r=1Ω的導(dǎo)體棒ab垂直MN、PQ放在導(dǎo)軌上，在水平外力F作用下從t=0時刻開始在圖示的兩虛線范圍內(nèi)往復(fù)運動，其速度隨時間變化的規(guī)律是v=2sin20πt m/s．垂直軌道平面的勻強磁場的磁感應(yīng)強度B=4T．導(dǎo)軌、導(dǎo)線和線圈電阻不計．求：
（1）從t=0到t₁=10s的時間內(nèi)，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q=？
（2）從t=0到t₂=0.025s的時間內(nèi)，外力F所做的功W=？

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒的速度隨著時間按照正弦規(guī)律變化，根據(jù)公式E=BLv，切割電動勢是正弦式交變電流；設(shè)副線圈電流為I，根據(jù)變流比公式得到原線圈電流和電壓，最后結(jié)合閉合電路歐姆定律求解變壓器的輸入電壓、輸出電壓、輸入電流、輸出電流；
（2）根據(jù)功能關(guān)系，外力F所做的功W等于回路中產(chǎn)生的總的焦耳熱和導(dǎo)體棒的動能增加量之和．

解答 解：（1）a b棒產(chǎn)生的是交流，其電動勢瞬時值為：
e=BLv=40 sin20πt V     
故導(dǎo)體棒的電動勢有效值為U=20$\sqrt{2}$V；
設(shè)副線圈電流為I，根據(jù)變流比公式$\frac{{I}_{2}}{{I}_{1}}=\frac{{n}_{1}}{{n}_{2}}$，原線圈的電流為10I；
副線圈電壓：U₂=IR；
根據(jù)變壓比公式$\frac{{U}_{1}}{{U}_{2}}=\frac{{n}_{1}}{{n}_{2}}$，U₁=$\frac{1}{10}{U}_{2}$=$\frac{1}{10}IR$；
根據(jù)閉合電路歐姆定律，有：
U=（10I）r+U₁
聯(lián)立解得：
I=$\frac{5\sqrt{2}}{3}A$
故從t=0到t₁=10s的時間內(nèi)，電阻R上產(chǎn)生的熱量：
Q=${I}^{2}Rt=（\frac{5\sqrt{2}}{3}）^{2}×20×10$=$\frac{10000}{9}J$≈1111.1J
（2）從t=0到t₂=0.025s，經(jīng)歷了四分之一個周期，設(shè)在這段時間內(nèi)電阻r和R上產(chǎn)生的熱量分別是Q₁和Q₂，在t₂=0.025 s時刻，ab棒的速度為v₂，則
Q₁=${（10I）}^{2}r{t}_{2}=（10×\frac{5}{3}\sqrt{2}）^{2}×1×0.025$=$\frac{125}{9}J$
Q₂=${I}^{2}R{t}_{2}=（\frac{5}{3}\sqrt{2}）^{2}×20×0.025$=$\frac{25}{9}$J
v₂=2sin20πt₂=2m/s
根據(jù)功能關(guān)系，有：
W=Q₁+Q₂+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=$\frac{125}{9}$+$\frac{25}{9}$+$\frac{1}{2}×2×{2}^{2}$≈20.7J
答：（1）從t=0到t₁=10s的時間內(nèi)，電阻R上產(chǎn)生的熱量約為1111.1J；
（2）從t=0到t₂=0.025s的時間內(nèi)，外力F所做的功約為20.7J．

點評 本題第一問關(guān)鍵是結(jié)合變壓器的變壓比公式和變流比公式列式求解，第二問關(guān)鍵是結(jié)合功能關(guān)系列式求解，不難．