Question

用質(zhì)量為M的鐵錘沿水平方向?qū)①|(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的鐵釘敲入木板，鐵錘每次以相同的速度v₀擊釘，隨即與釘一起運(yùn)動(dòng)并使釘進(jìn)入木板一定距離，在每次受擊進(jìn)入木板的過(guò)程中，釘所受的平均阻力為前一次受擊進(jìn)入木板過(guò)程所受平均阻力的k倍（k>1).
（1）若敲過(guò)三次后釘恰好全部進(jìn)入木板，求第一次進(jìn)入木板過(guò)程中釘所受到的平均阻力；
（2）若第一次敲擊使釘進(jìn)入木板深度為l₁，問(wèn)至少敲擊多少次才能使釘全部進(jìn)入木板？并就你的解答討論要將釘全部敲入木板，l₁必須滿足的條件.

Answer 1

（1）
(2)n=,n為非整數(shù)，其取整加1；若恰為整數(shù)，則不加1.l₁>(1-)l

（1）鐵錘每次擊釘?shù)亩虝哼^(guò)程動(dòng)量守恒，則有Mv₀="(M+m)v              " ①
其一起運(yùn)動(dòng)的初動(dòng)能
E_k=(M+m)v²=·                                              ②
設(shè)第一次進(jìn)入木板過(guò)程中釘所受阻力為F，則第二次、第三次的阻力依次為kF、k²F，三次敲擊后進(jìn)入木板的深度依次為l₁、l₂和l₃.根據(jù)動(dòng)能定理，有E_k=Fl₁=kFl₂=k²Fl₃       ③
l₂=l₁,l₃=l₁
l₁+l₂+l₃="l                                                                " ④
F==··(1++)=.                    ⑤
（2）設(shè)敲n次，釘全部進(jìn)入木板，同理可得E_k=Fl₁=kFl₂=…=k^n-1Fl_n
l₁(1+++…+)="l                                                 " ⑥
=1+++…+=                                          ⑦
n=                                                       ⑧
若上式右邊不是整數(shù)，n應(yīng)為其取整加1；若恰為整數(shù)，則不加1.
⑦式右邊隨n增大而增大，但總是小于，因而當(dāng)l₁太小時(shí)，無(wú)論多大的n也不能使⑦式成立，故要使釘能全部釘入木板，應(yīng)有<,即l₁>(1-)l.           ⑨