Question

9．一個(gè)輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為k，一端固定，另一端在力的作用下發(fā)生的形變量為x，已知克服彈力所做的功等于彈簧彈性勢(shì)能的增加量．（以上過(guò)程均在彈簧的彈性限度內(nèi)）
（1）證明彈簧發(fā)生的形變量為x時(shí)，其具有的彈性勢(shì)能為E_r=$\frac{1}{2}$kx²．
（2）若將彈簧豎直放置且下端固定在地面上，現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m的小球從距彈簧上端h處由靜止開(kāi)始下落，并壓縮彈簧，求小球在壓縮彈簧過(guò)程中的最大速度v_n．
（3）在第（2）問(wèn)中，豎直彈簧的上端固定一個(gè)質(zhì)量為M的木板并處于靜止，將質(zhì)量為m的小球從距彈簧上端h=0.8m處由靜止開(kāi)始下落，并與木板發(fā)生彈性碰撞，碰撞時(shí)間極短，且M=3m，g=10m/s²．求小球彈起的高度H．
（4）在第（3）問(wèn)中個(gè)，若m、k均未知，且小球和木板在第一次碰撞后又在同一位置發(fā)生第二次迎面的碰撞，此后的每次碰撞均在該位置，以豎直向下為正方向，試在圖示的坐標(biāo)系中作出小球從釋放開(kāi)始到第三次碰撞的v-t圖象．（標(biāo)出刻度值）

Answer 1

分析 （1）作出彈力與形變量之間的關(guān)系圖象，則圖象與坐標(biāo)軸圍城的面積表示彈力的負(fù)功，根據(jù)克服彈力所做的功等于彈簧彈性勢(shì)能的增加量得到彈簧發(fā)生的形變量為x時(shí)，其具有的彈性勢(shì)能；
（2）當(dāng)加速度為零時(shí)，速度最大，據(jù)小球與彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒得到小球在壓縮彈簧過(guò)程中的最大速度的表達(dá)式；
（3）彈性碰撞動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，可得碰撞后的小秋的速度，由勻變速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可得小球彈起的高度H；
（4）由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律可求得兩球碰撞所用時(shí)間，再由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒可求得碰后的速度，根據(jù)時(shí)間和速度可作出對(duì)應(yīng)的v-t圖象．

解答 解：（1）彈簧的彈力F與形變量x的關(guān)系如圖所示；
將彈簧的形變量x分割為無(wú)數(shù)小段，每段可看成恒力做功，則有：
Wi=Fi△xi
將所有的功相加可得：
W=$\sum_{\;}^{\;}{F}_{i}△{x}_{i}$
由圖可知，W為F-x圖象和橫坐軸所圍成的面積大小；
故W=$\frac{1}{2}$Fx=$\frac{1}{2}kx$•x=$\frac{1}{2}$kx²；
故E_P=$\frac{1}{2}$kx²；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)速度最大，則有：
mg=kx
由能量守恒可得：
mg（h+x）=$\frac{1}{2}$kx²+$\frac{1}{2}$mv_m²
聯(lián)立解得：v_m=$\sqrt{2g（h+\frac{mg}{2k}）}$
（3）小球與木板相碰撞前速度為v₀=$\sqrt{2gh}$=4m/s；
小球與木板發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒可得：
mv₀=mv₁+Mv₂；
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
聯(lián)立解得：v₁=-$\frac{1}{2}$v₀=-2m/s；
v₂=$\frac{1}{2}$v₀=2m/s；
小球上升的高度H=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}$=$\frac{4}{20}$=0.2m；
（4）小球從釋放到第一次碰撞的時(shí)間t₁=$\frac{{v}_{0}}{g}$=$\frac{4}{10}$=0.4s；
小球從第一次碰撞到第二次碰撞的時(shí)間t₂=$\frac{-2{v}_{1}}{g}$=$\frac{-4}{10}$=0.4s；
設(shè)第二次碰撞后小球和板后速度分別為v′1、v′2；則有：
m（-v₁）+M（-v₂）=mv′₁+Mv′₂
$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²=$\frac{1}{2}$mv′₁²+$\frac{1}{2}$Mv′₂²
聯(lián)立解得v₁′=-v₀=-4m/s；v′₂=0
故第二次碰撞到第三次碰撞的時(shí)間t₃=2t₁=0.8s
對(duì)應(yīng)的圖象如圖所示；
答：（1）證明如上；
（2）小球在壓縮彈簧過(guò)程中的最大速度為$\sqrt{2g（h+\frac{mg}{2k}）}$
（3）小球彈起的高度H為0.2m；
（4）如右圖所示．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)量守恒、功能關(guān)系以及彈性勢(shì)能等，要注意認(rèn)真審題，明確題意并掌握相應(yīng)的物理過(guò)程，從而確定物理規(guī)律的正確應(yīng)用；本題難度較大，對(duì)學(xué)生綜合能車要求較高．