Question

12．如圖所示為一圓柱形氣缸，氣缸左側(cè)絕熱，氣缸右側(cè)導(dǎo)熱，氣缸中央有一小孔與大氣相通，大氣的壓強(qiáng)為P₀．用絕熱活塞M、N將氣缸分成A、B、C三室，M、N用勁度系數(shù)為K的彈簧連接，活塞的面積為S，活塞相對(duì)氣缸可以無(wú)摩擦地移動(dòng)但不漏氣．氣缸的左端A室中有一電加熱器．已知在A、C室中均盛同種理想氣體，電加熱器加熱前，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，A、C兩室中氣體和大氣溫度的溫度均為T(mén)₀，A、C兩室氣體的長(zhǎng)度均為L(zhǎng)₀．彈簧處于原長(zhǎng)，現(xiàn)通過(guò)電加熱器對(duì)A室中氣體緩慢加熱，（活塞M始終在小孔的左側(cè)）
①若固定活塞N，活塞M向右移動(dòng)了$\frac{1}{2}$L₀，求此時(shí)A的溫度T₁；
②放開(kāi)活塞N，活塞N向右移動(dòng)了$\frac{1}{2}$L₀，求此時(shí)A的溫度T₂．

Answer 1

分析 ①根據(jù)題意求出A中氣體的狀態(tài)參量，然后應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程求出氣體的溫度；
②求出氣體B的狀態(tài)參量，應(yīng)用玻意耳定律求出氣體的壓強(qiáng)，然后求出氣體A的狀態(tài)參量，應(yīng)用理想氣體狀態(tài)參量求出氣體A的溫度．

解答 解：①氣體A的狀態(tài)參量：p_A1=p₀，V_A1=L₀S，T_A1=T₀，
p_A2=p₀+$\frac{K×\frac{1}{2}{L}_{0}}{S}$=p₀+$\frac{K{L}_{0}}{2S}$，V_A2=$\frac{3}{2}$L₀S，
由理想氣體狀態(tài)方程得：$\frac{{p}_{A1}{V}_{A1}}{{T}_{A1}}$=$\frac{{p}_{A2}{V}_{A2}}{{T}_{A2}}$，
即：$\frac{{p}_{0}{L}_{0}S}{{T}_{0}}$=$\frac{（{p}_{0}+\frac{K{L}_{0}}{2S}）×\frac{3}{2}{L}_{0}S}{{T}_{1}}$，解得：T₁=$\frac{3}{2}$（1+$\frac{K{L}_{0}}{2{p}_{0}S}$）T₀；
②氣體B的狀態(tài)參量：p_B1=p₀，V_B1=L₀S，V_B2=$\frac{1}{2}$L₀S，
氣體B發(fā)生等溫變化，由玻意耳定律得：
p_B1V_B1=p_B2V_B2，即：p₀×L₀S=p_B2×$\frac{1}{2}$L₀S，
解得：p_B2=2p₀，p_B2=2p₀=p₀+$\frac{Kx}{S}$，x=$\frac{{p}_{0}S}{K}$，
氣體A的狀態(tài)參量為：p_A2=p₀+$\frac{K{L}_{0}}{2S}$，V_A2=$\frac{3}{2}$L₀S，T_A2=$\frac{3}{2}$（1+$\frac{K{L}_{0}}{2{p}_{0}S}$）T₀，
p_A3=p_B2=2p₀，V_A3=（L₀-x）S=（L₀-$\frac{{p}_{0}S}{K}$）S，T_A3=T₂，
對(duì)氣體A，由理想氣體狀態(tài)參量得：$\frac{{p}_{A2}{V}_{A2}}{{T}_{A2}}$=$\frac{{p}_{A3}{V}_{A3}}{{T}_{A3}}$，
即：$\frac{（{p}_{0}+\frac{K{L}_{0}}{2S}）×\frac{3}{2}{L}_{0}S}{\frac{3}{2}（1+\frac{K{L}_{0}}{2{p}_{0}S}）{T}_{0}}$=$\frac{2{p}_{0}×（{L}_{0}-\frac{{p}_{0}S}{K}）S}{{T}_{2}}$，
解得：T₂=$\frac{2{p}_{0}（{L}_{0}-\frac{{p}_{0}S}{K}）（1+\frac{K{L}_{0}}{2{p}_{0}S}）{T}_{0}}{{p}_{0}+\frac{K{L}_{0}}{2S}}$；
答：①若固定活塞N，活塞M向右移動(dòng)了$\frac{1}{2}$L₀，此時(shí)A的溫度T₁為$\frac{3}{2}$（1+$\frac{K{L}_{0}}{2{p}_{0}S}$）T₀；
②放開(kāi)活塞N，活塞N向右移動(dòng)了$\frac{1}{2}$L₀，此時(shí)A的溫度T₂為$\frac{2{p}_{0}（{L}_{0}-\frac{{p}_{0}S}{K}）（1+\frac{K{L}_{0}}{2{p}_{0}S}）{T}_{0}}{{p}_{0}+\frac{K{L}_{0}}{2S}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求氣體的溫度，本題是連接體問(wèn)題，本題有一定難度，分析清楚氣體的狀態(tài)變化過(guò)程、求出氣體的狀態(tài)參量是解題的前提與關(guān)鍵；應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程與玻意耳定律可以解題；解題時(shí)要注意兩部分氣體間的狀態(tài)參量關(guān)系．