Question

3．如圖所示，兩電阻不計(jì)的足夠長(zhǎng)光滑平行金屬導(dǎo)軌與水平面夾角為θ=30°，導(dǎo)軌間距為l=40cm，所在平面的正方形區(qū)域abcd內(nèi)存在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為0.5T，方向垂直于軌道平面向上．如圖所示，將甲、乙兩阻值相同，質(zhì)量均為m=0.01kg的相同金屬桿放置在導(dǎo)軌上，甲金屬桿處在磁場(chǎng)的上邊界，甲、乙相距l(xiāng)．從靜止釋放兩金屬桿的同時(shí)，在甲金屬桿上施加一個(gè)沿著導(dǎo)軌的外力F，使甲金屬桿在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終沿導(dǎo)軌向下做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，且加速度大小a=5m/s²，乙金屬桿進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)恰好做勻速運(yùn)動(dòng)．（g=10m/s²）
（1）求乙金屬桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間，甲、乙之間的距離x；以及甲、乙的電阻R為多少？
（2）先判斷F的方向，再寫(xiě)出甲在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中外力F隨時(shí)間t的變化關(guān)系式．（從釋放金屬桿時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)）
（3）若從開(kāi)始釋放兩桿到乙金屬桿剛離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中，乙金屬桿上共產(chǎn)生熱量Q，試求此過(guò)程中外力F對(duì)甲金屬桿所做的功．（用已知量字母Q、m、l、θ、g表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得到甲乙加速度相同，都是5m/s²，當(dāng)乙進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，甲剛出磁場(chǎng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出乙進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，乙金屬桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)作勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)安培力的公式和平衡條件可求出甲乙的電阻R．
（2）甲在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)做勻加速運(yùn)動(dòng)，由速度公式得到速度與時(shí)間的關(guān)系式，根據(jù)牛頓第二定律求解外力F隨時(shí)間t的變化關(guān)系．
（3）乙進(jìn)入磁場(chǎng)前，甲乙發(fā)出相同熱量．甲一直在磁場(chǎng)中時(shí)，外力F始終等于安培力，克服安培力做功等于甲乙產(chǎn)生的總熱量；乙在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理求出乙放出的熱量，即可求出甲乙發(fā)出的熱量，再求出外力做功．

解答 解：（1）在乙尚未進(jìn)入磁場(chǎng)中的過(guò)程中，甲、乙的加速度相同，
因它們同時(shí)釋放，則它們會(huì)相對(duì)靜止，
當(dāng)乙金屬桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間，甲、乙之間的距離x=l=0.4m；
設(shè)乙剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，
 依據(jù) v²=2ax   且 a=gsinθ
        即  v=$\sqrt{2glsinθ}$=$\sqrt{2×10×0.4×0.5}$=2m/s；
乙剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，對(duì)乙由根據(jù)平衡條件得mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2R}$
R_乙=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{2glsinθ}}{2mgsinθ}$=$\frac{0．{5}^{2}×0．{4}^{2}×2}{2×0.01×10×0.5}$=0.8Ω；
 那么R_甲=0.8Ω；
（2）甲在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律可知，外力F大小始終等于安培力大小即：F=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2R}$ 
而v=（gsinθ）t
      解得 F=$\frac{m{g}^{2}si{n}^{2}θ}{\sqrt{2glsinθ}}$t=$\frac{0.01×1{0}^{2}×0．{5}^{2}}{2}t$=0.125t²；
 外力方向沿導(dǎo)軌平面并垂直金屬桿甲向下，
（3）設(shè)乙從釋放到剛進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間為t₁
         l=$\frac{1}{2}$（gsinθ）${t}_{1}^{2}$
解得：t₁=$\sqrt{\frac{2l}{gsinθ}}$=$\frac{l}{gsinθ}\sqrt{2glsinθ}$
設(shè)乙從進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程至剛離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間為t₂；
           l=vt₂；
      解得：t₂=$\frac{l}{\sqrt{2glsinθ}}$=$\frac{l}{2gsinθ}\sqrt{2glsinθ}$
設(shè)乙離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，甲的速度v′
v′=（gsinθ）（t₁+t₂）=$\frac{3}{2}\sqrt{2glsinθ}$
設(shè)甲從開(kāi)始釋放至乙離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中的位移為x    
      x=$\frac{1}{2}$（gsinθ）（t₁+t₂）²=$\frac{9}{4}$l 
根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒定律得：mgxsinθ+mg•2lsinθ+W_F=2Q+$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}$mv′²
          W_F=2Q-mglsinθ．
答：（1）乙金屬桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間，甲、乙之間的距離0.4m；以及甲、乙的電阻R均為0.8Ω；
（2）外力F的方向沿導(dǎo)軌平面并垂直金屬桿甲向下，
甲在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中外力F隨時(shí)間t的變化關(guān)系式F=0.125t²．（從釋放金屬桿時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)）
（3）若從開(kāi)始釋放兩桿到乙金屬桿剛離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中，乙金屬桿上共產(chǎn)生熱量Q，此過(guò)程中外力F對(duì)甲金屬桿所做的功2Q-mglsinθ．（用已知量字母Q、m、l、θ、g表示）

點(diǎn)評(píng) 本題是復(fù)雜的電磁感應(yīng)現(xiàn)象，是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的綜合，分析導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況，要抓住甲勻加速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，外力與安培力大小相等．分別從力和能量?jī)蓚�(gè)角度進(jìn)行研究．