Question

3．如圖所示，OAB為豎直放置的輕質(zhì)等腰三角形支架，θ=30°，AB長為2L，C為AB的中點(diǎn)，A端擱在支撐物上，OA水平，支架可繞過O點(diǎn)的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量為M=$\frac{11}{16}$m帶正電的物塊P固定在支架上的A點(diǎn)．現(xiàn)將另一質(zhì)量為m、電荷量為+q的物塊Q由中點(diǎn)C靜止釋放，Q沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，剛好能到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)支架恰好不翻倒．已知Q與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，P、Q均可視為點(diǎn)電荷，求：

（1）C、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；
（2）釋放Q瞬間，它的加速度；
（3）若Q運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度為v，求Q處于平衡狀態(tài)時(shí)的總勢(shì)能．（以C點(diǎn)為重力勢(shì)能和電勢(shì)能的零點(diǎn)）

Answer 1

分析 （1）對(duì)物塊Q，根據(jù)動(dòng)能定理解得C、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；
（2）Q即將到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，P受到的庫侖力為F_B，對(duì)支架，由力矩的平衡列式，求解F_B，Q在C點(diǎn)時(shí)，根據(jù)庫侖定律求解F_C，再根據(jù)牛頓第二定律求解加速度；
（3）Q處于平衡狀態(tài)時(shí)，有兩個(gè)位置，由能量守恒定律結(jié)合庫侖定律求解．

解答 解：（1）對(duì)物塊Q，根據(jù)動(dòng)能定理有：U_CBq-mgLsinθ-mgcosθμL=0，
解得：${U_{CB}}=\frac{3mgL}{4q}$，
（2）Q即將到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，P受到的庫侖力為F_B，對(duì)支架，由力矩的平衡有：$NL+fLtanθ=Mg\frac{L}{cosθ}+{F_B}Ltanθ$，
對(duì)Q：$N=mgcosθ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}mg$，$f=μN(yùn)=\frac{1}{4}mg$，
解得：${F_B}=\frac{3}{8}mg$，
Q在C點(diǎn)時(shí)，受到的庫侖力為F_C，則：$\frac{{F}_{C}}{{F}_{B}}=\frac{\frac{kQq}{{L}^{2}}}{\frac{kQq}{（2L）^{2}}}=4$，
解得：${F_C}=\frac{3}{2}mg$
釋放Q瞬間：F_C-mgsinθ-f=ma
解得：$a=\frac{3}{4}g$
（3）Q處于平衡狀態(tài)時(shí)，有兩個(gè)位置．
Q經(jīng)過最大速度為v的位置，Q受到的庫侖力為F，則：$F=mgsinθ+f=\frac{3}{4}mg$
又：$\frac{{F}_{\;}}{{F}_{C}}=\frac{\frac{kQq}{{{L}_{1}}^{2}}}{\frac{kQq}{{L}^{2}}}=\frac{{L}^{2}}{{{L}_{1}}^{2}}$
解得：${L_1}=\sqrt{2}L$
此位置，Q的總勢(shì)能為E_P1，由能量守恒定律有：$0=\frac{1}{2}m{v^2}+{E_{P1}}+f（{L_1}-L）$
解得：${E_{P1}}=-\frac{{\sqrt{2}-1}}{4}mgL-\frac{1}{2}m{v^2}$
Q到達(dá)B點(diǎn)后，因$mgsinθ-{F_B}=\frac{1}{8}mg$＜f，故Q停在B點(diǎn)，Q的總勢(shì)能為E_P2，
則：${E_{P2}}=mgLsinθ-{U_{CB}}q=\frac{1}{2}mgL-\frac{3}{4}mgL=-\frac{1}{4}mgL$
故Q處于平衡狀態(tài)時(shí)的總勢(shì)能為：${E_{P1}}=-\frac{{\sqrt{2}-1}}{4}mgL-\frac{1}{2}m{v^2}$或${E_{P2}}=-\frac{1}{4}mgL$
答：（1）C、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差為$\frac{3mgL}{4q}$；
（2）釋放Q瞬間，它的加速度為$\frac{3}{4}g$；
（3）若Q運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度為v，則Q處于平衡狀態(tài)時(shí)的總勢(shì)能為$-\frac{\sqrt{2}-1}{4}mgL-\frac{1}{2}m{v}^{2}$或$-\frac{1}{4}mgL$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律、庫侖定律以及能量守恒定律的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們正確正確分析物塊的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，注意Q處于平衡狀態(tài)時(shí)，有兩個(gè)位置，難度適中．