Question

如圖甲，在圓柱形區(qū)域內(nèi)存在一方向豎直向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，在此區(qū)域內(nèi)，沿水平面固定一半徑為r的圓環(huán)形光滑細(xì)玻璃管，環(huán)心O在區(qū)域中心．一質(zhì)量為m、帶電荷量為q（q?0）的小球，在管內(nèi)沿逆時(shí)針方向（從上向下看）做圓周運(yùn)動．已知磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖乙所示，其中T₀=

2πm

qB0

．設(shè)小球在運(yùn)動過程中電荷量保持不變，對原磁場的影響可忽略．
（1）在t=0到t=T₀這段時(shí)間內(nèi)，小球不受細(xì)管側(cè)壁的作用力，求小球的速度大小v₀；
（2）在豎直向下的磁感應(yīng)強(qiáng)度增大過程中，將產(chǎn)生渦旋電場，其電場線是在水平面內(nèi)一系列沿逆時(shí)針方向的同心圓，同一條電場線上各點(diǎn)的場強(qiáng)大小相等．試求t=T₀到t=1.5T₀這段時(shí)間內(nèi)：
①細(xì)管內(nèi)渦旋電場的場強(qiáng)大小E；
②電場力對小球做的功W．

Answer 1

分析：（1）在t=0到t=T₀這段時(shí)間內(nèi)，小球不受細(xì)管側(cè)壁的作用力，說明洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解；
（2）①根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求解出感應(yīng)電動勢，再進(jìn)一步計(jì)算電場強(qiáng)度；
②先根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，計(jì)算出路程，再求解電場力的功．

解答：解：（1）在t=0到t=T₀這段時(shí)間內(nèi)，小球不受細(xì)管側(cè)壁的作用力，說明洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有
qv0B0=m

v 2 0

r

解得
v₀=

qB0r

m

 （2）①根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，感應(yīng)電動勢為：U=

S△B

△t

=πr2?

B0

1 2 T0

=

2πr2B0

T0

  
電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系，有：U=E?2πr   
由上面兩式解得
E=

U

2πr

=

r B0

T0

其中：T0=

2πm

qB0

故：E=

qr0 B 2 0

2πm

②電場力為：F=Eq=

r B0q

T0

；
根據(jù)牛頓第二定律，有
F=ma
解得
a=

r B0q

mT0

物體的末速度為：v=v0+at=

qB0r

m

+

r B0q

mT0

?

T0

2

=

3qB0r

2m

根據(jù)動能定理，電場力做的功為：W=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

=

5q2 B 2 0 r2

8m

；
答：（1）在t=0到t=T₀這段時(shí)間內(nèi)，小球的速度大小為

qB0r

m

；
（2）在t=T₀到t=1.5T₀這段時(shí)間內(nèi)：
①細(xì)管內(nèi)渦旋電場的場強(qiáng)大小E為

qr0 B 2 0

2πm

；
②電場力對小球做的功W為

5q2 B 2 0 r2

8m

．

點(diǎn)評：本題是有關(guān)感應(yīng)加速器的問題，感生電場的電場力做正功，電場力是恒定大小的力，電荷速率隨著時(shí)間均勻增加，結(jié)合動能定理、電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系公式、牛頓第二定律列式求解．