Question

17．在直角坐標(biāo)系xOy中，有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在半徑為R的圓內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，其中OD是圓的直徑，質(zhì)量為m、帶電荷量為q的帶正電粒子，在第二象限中的A點(diǎn)，坐標(biāo)為A（-l，0.6R），由靜止開(kāi)始經(jīng)勻強(qiáng)電場(chǎng)加速，沿著與直徑OD平行的方向從P點(diǎn)（圖中未畫(huà)）進(jìn)人磁場(chǎng)，如圖所示，若帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是$\frac{πm}{2qB}$，粒子在AP間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可以忽略不計(jì)．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（2）帶電粒子從A點(diǎn)到偏轉(zhuǎn)出磁場(chǎng)的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑的表達(dá)式與周期的表達(dá)式，結(jié)合題目中的條件與圖中的幾何關(guān)系，即可求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑與粒子的速度，然后由動(dòng)能定理即可求出電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）先求解出粒子做加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后求出兩段時(shí)間的和，得到總時(shí)間．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，則：
$\frac{m{v}^{2}}{r}=qvB$
所以：$r=\frac{mv}{qB}$
粒子運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$
所以帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₂=$\frac{πm}{2qB}$=$\frac{1}{4}T$
可知粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度為90°，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，所以粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的軌跡如圖：

依題意可知，PD=0.6R
根據(jù)幾何關(guān)系得：$O′D=\sqrt{{R}^{2}-（0.6R）^{2}}=0.8R$；
同時(shí)，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性可知，O′O″D的連線一定是∠PO″Q的角平分線，而∠PO″Q=90°，所以DO″=DO′=0.8R
所以，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑：r=PO″=PD+DO″=0.6R+0.8R=1.4R
所以粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度：v=$\frac{qBr}{m}=\frac{1.4qBR}{m}$
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中電場(chǎng)力做功，由動(dòng)能定理得：
$qEl=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立得：$E=\frac{m{v}^{2}}{ql}=\frac{1.96q{B}^{2}{R}^{2}}{ml}$
（2）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{1}=\frac{2l}{v}$=$\frac{2ml}{1.4qBR}$
粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t=t₁+t₂=$\frac{2ml}{1.4qBR}$+$\frac{πm}{2qB}$
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小是$\frac{1.96q{B}^{2}{R}^{2}}{ml}$；
（2）帶電粒子從A點(diǎn)到偏轉(zhuǎn)出磁場(chǎng)的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間是$\frac{2ml}{1.4qBR}$+$\frac{πm}{2qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)與勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，本題的解題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出軌跡，然后結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行分析計(jì)算．