Question

20．如圖所示，光滑導軌COAB水平放置于豎直向上的勻強磁場中，放置在導軌上的導體棒EF從O點開始在外力F的作用下沿導軌向右作勻速直線運動，速度大小為v，已知磁感應強度大小為B，平行導軌寬度與導體棒長度都為l，圖中α=45°，導軌OD部分與導體棒EF粗細相同，且由同種材料制成，單位長度電阻都為ρ，其余部分電阻不計．求：
（1）導體棒運動到距O點距離為$\frac{1}{2}$l時，通過導體棒的電流；
（2）在0～$\frac{l}{v}$時間內，通過導體棒某一橫截面的電量q；
（3）導體棒運動了2l的過程中，導軌與導體棒共產生多少焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）先求出導體棒運動到距O點距離為$\frac{1}{2}$l時有效切割長度，結合切割產生的感應電動勢和閉合電路歐姆定律求出電流強度的大�。�
（2）在0～$\frac{l}{v}$時間內，導體棒運動的距離為l，回路中感應電流大小不變，由q=It求出電量q．
（3）導體棒運動了2l的過程中，分兩段求焦耳熱：一是導體棒運動l的過程中，感應電流大小不變，安培力均勻增大，用安培力的平均值求出克服安培力做功，即等于產生的焦耳熱．導體棒運動l到2l的過程中，由焦耳定律求焦耳熱．

解答 解：（1）在0～$\frac{l}{v}$時間內，導體棒運動的距離為l，此過程中導體棒的位移為x時導體棒切割的長度為 x
導體棒產生的感應電動勢 E=Bxv
回路總電阻 R=2xρ
通過導體棒的電流 I=$\frac{E}{R}$
聯(lián)立解得 I=$\frac{Bv}{2ρ}$
可知這個過程中通過導體棒的電流不變，一直為I=$\frac{Bv}{2ρ}$．
（2）在0～$\frac{l}{v}$時間內，通過導體棒某一橫截面的電量 q=It=$\frac{Bv}{2ρ}$•$\frac{l}{v}$=$\frac{Bl}{2ρ}$
（3）導體棒運動l的過程中，感應電流大小不變，由F=BIL，知安培力均勻增大，導體棒克服安培力做功 W=$\overline{F}$l=$\frac{0+BIl}{2}l$=$\frac{B•\frac{Bv}{2ρ}•{l}^{2}}{2}$=$\frac{{B}^{2}v{l}^{2}}{4}$
由功能關系知，此過程中回路產生的焦耳熱 Q₁=W=$\frac{{B}^{2}v{l}^{2}}{4}$；
導體棒運動l到2l的過程中，回路中感應電流 I′=$\frac{Blv}{2lρ}$=$\frac{Bv}{2ρ}$．
此過程中產生的焦耳熱 Q₂=I′²Rt=（$\frac{Bv}{2ρ}$）²•2lρ•$\frac{l}{v}$=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2ρ}$
答：
（1）導體棒運動到距O點距離為$\frac{1}{2}$l時，通過導體棒的電流為$\frac{Bv}{2ρ}$；
（2）在0～$\frac{l}{v}$時間內，通過導體棒某一橫截面的電量q為$\frac{Bl}{2ρ}$；
（3）導體棒運動了2l的過程中，導軌與導體棒共產生的焦耳熱為$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2ρ}$．

點評 本題綜合考查了切割產生的感應電動勢、閉合電路歐姆定律、歐姆定律等知識點，關鍵是注意當安培力均勻增大時，根據(jù)安培力的平均值求克服安培力做功．