Question

16．如圖所示，M、N為兩塊帶等量異種電荷的平行金屬板，兩板間電壓可取從零到最大值U_m之間的各種數(shù)值．靜止的帶電粒子電荷量為+q，質(zhì)量為m（不計(jì)重力），從點(diǎn)P經(jīng)電場(chǎng)加速后，從小孔Q進(jìn)入N板右側(cè)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外，CD為磁場(chǎng)邊界上的一絕緣板，它與N板的夾角為θ=45°，孔Q到板的下端C的距離為L(zhǎng)，當(dāng)M、N兩板間電壓取最大值U_m時(shí)，粒子恰垂直打在CD板上．求：
（1）當(dāng)M、N兩板間電壓取最大值U_m時(shí)，粒子射入磁場(chǎng)的速度v₁的大��；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t_m；
（4）CD板上可能被粒子打中區(qū)域的長(zhǎng)度S．

Answer 1

分析 帶電粒子在帶等量異種電荷的電場(chǎng)在加速，離開(kāi)電場(chǎng)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于進(jìn)入磁場(chǎng)的速度不同，半徑也不相等，本題涉及的幾種特殊情況．
（1）由動(dòng)能定理，電場(chǎng)力做的功就是粒子動(dòng)能的增加量，從而求出速度的射入磁場(chǎng)的速度．
（2）由垂直打在板上知道速度方向，從而求出半徑，由洛侖茲力提供向心力就可求出此種情況下磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．
（3）顯然在磁場(chǎng)中做完整的半周的時(shí)間就是最長(zhǎng)時(shí)間．
（4）由分析知：最大速度的位置打在CD板上離C點(diǎn)最遠(yuǎn)，與CD相切的位置最近．兩者之差就是打在CD板上的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）M、N兩板間電壓取最大值U_m時(shí)，粒子恰垂直打在CD板上，所以圓心在C點(diǎn)，如圖所示，設(shè)此時(shí)粒子
   運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為r₁，CH=QC=L 
   即半徑r₁=L         
  由qU_m=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$    ${v}_{1}=\sqrt{\frac{2q{U}_{m}}{m}}$
（2）又因?yàn)閝v₁B=m $\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$
  得B=$\sqrt{\frac{2m{U}_{m}}{q{L}^{2}}}$      
（3）打在QE間的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，均為半個(gè)周期，
  由$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$而  ${t}_{m}=\frac{T}{2}$ 
  得t_m=$πL\sqrt{\frac{m}{2q{U}_{m}}}$  
（4）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與CD板相切于K點(diǎn)，此軌跡的半徑為r₂，設(shè)圓心為A，在△AKC中：sin 45°=$\frac{{r}_{2}}{L-{r}_{2}}$       
  解得r₂=（$\sqrt{2}$-1）L，
  由幾何關(guān)系：KC=r₂=（$\sqrt{2}$-1）L
  所以CD板上可能被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度s=HK=HC-KC，
  即s=r₁-r₂=（2-$\sqrt{2}$）L      
答：（1）當(dāng)M、N兩板間電壓取最大值U_m時(shí)，粒子射入磁場(chǎng)的速度v₁的大小$\sqrt{\frac{2q{U}_{m}}{m}}$．
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小$\sqrt{\frac{2m{U}_{m}}{q{L}^{2}}}$．
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為$πL\sqrt{\frac{m}{2q{U}_{m}}}$
（4）CD板上可能被粒子打中區(qū)域的長(zhǎng)度S  為（2-$\sqrt{2}$）L．

點(diǎn)評(píng) 由洛侖茲力提供向心力可求得半徑公式，從半徑公式可以看出速度越大，半徑越大，打的位置越上，由題意，找到幾種特殊情況，從而能夠求出速度、磁感應(yīng)強(qiáng)度、最長(zhǎng)時(shí)間等．