Question

7．如圖所示，在平面坐標(biāo)系xOy中，x≤0區(qū)域有垂直于y軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)E=0.4N/C，x＞0有三個(gè)區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，區(qū)域邊界垂直于x軸，區(qū)域I的寬度L₁=0.05m，區(qū)域Ⅱ的寬度L₂=0.1m，區(qū)域Ⅲ的寬度L₃未知，三個(gè)區(qū)域都有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等都為B=0.02T，Ⅰ、Ⅲ中磁場(chǎng)方向垂直于坐標(biāo)平面向外，Ⅱ中磁場(chǎng)方向垂直于坐標(biāo)平面向里；P點(diǎn)在y軸上，縱坐標(biāo)y_P=0.15m，A點(diǎn)與P點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，與P點(diǎn)的距離d=1.0m．一正點(diǎn)電荷從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)P點(diǎn)進(jìn)入?yún)^(qū)域I，并從區(qū)域Ⅱ、Ⅲ之間邊界上的C點(diǎn)（圖中未標(biāo)出）進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ．點(diǎn)電荷質(zhì)量m=2×10^-9kg，電荷量q=4×10^-4C，不計(jì)重力．
（1）求點(diǎn)電荷經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)速度的大小v_P；
（2）求C點(diǎn)的縱坐標(biāo)y_C；
（3）若要求點(diǎn)電荷不從區(qū)域Ⅲ的右邊界離開(kāi)，并回到y(tǒng)軸，求區(qū)域Ⅲ寬度L₃的最小值及正電荷從P點(diǎn)到第一次回到y(tǒng)軸經(jīng)過(guò)的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理即可求得粒子在p點(diǎn)的速度．
（2）先畫(huà)出粒子在三個(gè)區(qū)域磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡，并計(jì)算半徑，找到圓心，由幾何關(guān)系就能求得C點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
（3）在區(qū)域Ⅲ磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡恰與右邊界相切時(shí)，由幾何關(guān)系求出最小寬度．在根據(jù)在每一個(gè)區(qū)域內(nèi)偏轉(zhuǎn)的角度求出第一次回到y(tǒng)軸的時(shí)間．

解答 解：（1）電荷在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則
$qEd=\frac{1}{2}m{{v}_{p}}^{2}$                               
代入數(shù)據(jù)解得：v_P=4×10²m/s                             
（2）電荷在x＞0的三個(gè)區(qū)域磁場(chǎng)中分別都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌跡如圖所示，圓心分別  是O₁、O₂、O₃，半徑相同，設(shè)為r，設(shè)軌跡與區(qū)域I、II的邊界交點(diǎn)D的連線與y軸正方向
  的夾角為θ，C點(diǎn)與點(diǎn)D縱坐標(biāo)相等，則有：
  $r=\frac{m{v}_{p}}{qB}$   
  $sinθ=\frac{{L}_{1}}{r}$   
  y_c=y_p-（r-rcosθ）      
  解得  r=0.1m，θ=30°
  y_C=0.137m        
（3）設(shè)區(qū)域III寬度L₃的最小值為L(zhǎng)_3m，則
  L_3m=r+rsinθ                                   
  代入得：L_3m=0.15m                                         
  電荷在三個(gè)區(qū)域磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期相同，設(shè)為T(mén)，設(shè)從P到C運(yùn)動(dòng)過(guò)程
  中，在區(qū)域I中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，在區(qū)域II中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂，在區(qū)域III中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₃，則
    $T=\frac{2πm}{qB}$                                   
    ${t}_{1}=\frac{θ}{2π}T$                                    
    ${t}_{2}=\frac{2θ}{2π}T$                                     
    ${t}_{3}=\frac{π+2θ}{2π}T$                               
    t=2（t₁+t₂）+t₃                               
 解得  T=$\frac{π}{2}×1{0}^{-3}$s，${t}_{1}=\frac{π}{24}×1{0}^{-3}$s，${t}_{2}=\frac{π}{12}×1{0}^{-3}$s，${t}_{3}=\frac{π}{3}×1{0}^{-3}$s
   $t=\frac{7π}{12}×1{0}^{-3}$s       
答：（1）求點(diǎn)電荷經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)速度的大小為4×10²m/s．
（2）求C點(diǎn)的縱坐標(biāo)y_C為0.137m．
（3）若要求點(diǎn)電荷不從區(qū)域Ⅲ的右邊界離開(kāi)，并回到y(tǒng)軸，求區(qū)域Ⅲ寬度L₃的最小值
  及正電荷從P點(diǎn)到第一次回到y(tǒng)軸經(jīng)過(guò)的時(shí)間t為$\frac{7π}{12}×1{0}^{-3}$s．

點(diǎn)評(píng) 本題只能算一步往前走一步，進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)域的速度是第一問(wèn)要求的，也是求在后面三個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑的條件，然后由速度方向畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，求出在每個(gè)區(qū)域內(nèi)偏轉(zhuǎn)角，最后求出第一次回到y(tǒng)軸的時(shí)間．要說(shuō)明的是本題在解題過(guò)程中，直接應(yīng)用了半徑公式和周期公式，若要推導(dǎo)也只是多一步---洛侖茲力提供向心力．