Question

8．我國已啟動(dòng)“嫦娥工程”，并于2007年10月24日和2010年10月1日分別將“嫦娥一號(hào)”和“嫦娥二號(hào)”成功發(fā)射，“嫦娥三號(hào)”亦有望在2013年落月探測(cè)90天，并已給落月點(diǎn)起了一個(gè)富有詩意的名字-“廣寒宮”．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r．
（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)過時(shí)間t，小球落回拋出點(diǎn)．已知月球半徑為r_月，引力常量為G，請(qǐng)求出月球的質(zhì)量M_月．
（3）若①地球和月球的半徑之比為$\frac{R}{{R}_{0}}$=4，表面重力加速度之比$\frac{g}{{g}_{0}}$=6，求地球和月球的密度之比；
②繞月衛(wèi)星的最大速度與繞地衛(wèi)星的最大速度之比．（可用根號(hào)表示）

Answer 1

分析 （1）月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式；運(yùn)用黃金代換式GM=gR²求出問題．
（2）根據(jù)豎直上拋的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出月球表面重力加速度；再次運(yùn)用萬有引力等于重力求出月球的質(zhì)量．
（3）根據(jù)萬有引力等于重力得出天體質(zhì)量的表達(dá)式，從而得出密度的表達(dá)式，結(jié)合表面的重力加速度之比和星球的半徑之比求出密度之比．
根據(jù)萬有引力提供向心力，分別寫出速度的表達(dá)式，然后比較即可．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得：
G$\frac{{{M_月}M}}{{{r_月}^2}}={M_月}{（\frac{2π}{T}）^2}{r_月}$  ①
質(zhì)量為m的物體在地球表面時(shí)：mg=G$\frac{Mm}{R^2}$  ②
由①②得：r _月=$\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}$
（2）設(shè)月球表面處的重力加速度為g_月，
根據(jù)豎直上拋的運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：${v_0}=\frac{{{g_月}t}}{2}$  ③，
根據(jù)萬有引力等于重力得：${g_月}=\frac{{G{M_月}}}{r_月^2}$   ④，
由③④解得：M_月=$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$
（3）①根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，星球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，則星球的密度$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3g}{4GπR}$   ⑤
球和月球的半徑之比為4：1，表面的重力加速度之比為6：1，則密度之比為3：2
②根據(jù)萬有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{R}$⑥
聯(lián)立②⑥可得：v=$\sqrt{gR}$⑦
當(dāng)軌道最小時(shí)衛(wèi)星的速度最大，即在地球表面和月球表面的衛(wèi)星的速度最大，所以：
$\frac{{v}_{月}}{{v}_{地}}=\sqrt{\frac{{g}_{0}{R}_{0}}{gR}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{1}{24}}$   ⑧
答：（1）月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）月球的質(zhì)量為$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$；
（3）①球和月球的密度之比是3：2；
②繞月衛(wèi)星的最大速度與繞地衛(wèi)星的最大速度之比是$\sqrt{\frac{1}{24}}$．

點(diǎn)評(píng) 把星球表面的物體運(yùn)動(dòng)和天體運(yùn)動(dòng)結(jié)合起來是考試中常見的問題．重力加速度g是天體運(yùn)動(dòng)研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)研究聯(lián)系的物理量．