Question

10．“太空粒子探測器”由加速、偏轉(zhuǎn)和收集三部分裝置組成，其原理如圖所示：輻射狀的加速電場區(qū)域邊界為兩個(gè)同心半圓弧$\widehat{AB}$和$\widehat{CD}$，圓心為O，弧$\widehat{AB}$的半徑為L，P為弧$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，兩圓弧間的電勢差大小為U．足夠長的收集板MN平行于邊界ACDB，0點(diǎn)到MN板的距離OQ為L_o在邊界ACDB和收集板MN之間有一以0為圓心、L為半徑的半圓形勻強(qiáng)磁場．方向垂直紙面向里．假設(shè)太空中漂浮著質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子，它們能均勻地吸附到弧$\widehat{APB}$上，并被加速電場從靜止開始加速，不汁粒子間的相互作用和其它星球?qū)αＷ右�力的影響�?nbsp;   
（1）求粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度的大�。�
（2）若要收集板MN能收集到粒子，求半圓形勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小需滿足的條件；
（3）改變磁感應(yīng)強(qiáng)度 B的大小，使得從弧$\widehat{APB}$收集到的粒子中有$\frac{2}{3}$能打到MN板上（不考慮過界ACDB的粒子再次返回磁場），求此時(shí)吸附在弧$\widehat{AP}$（四分之一圓�。┥系牧Ｗ又校瑥腛點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到MN板上的最長時(shí)間t_max．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中加速，由動(dòng)能定理可以求出速度．
（2）作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合軌跡求出粒子的半徑，然后由洛倫茲力提供向心力即可求解；
（3）從$\overline{AB}$收集到的粒子有$\frac{2}{3}$能打到MN板上，則剛好不能打到MN上的粒子從磁場中出來后速度的方向與MN平行，則入射方向與AB之間的夾角是60°，作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)周期的腌篤鮮求出粒子在磁場中的時(shí)間，吸附在AP上所有的粒子中，沿OB方向射入的粒子離開磁場后路線最長，時(shí)間最長，根據(jù)幾何關(guān)系求出離開磁場后的時(shí)間，從而得出吸附在弧$\widehat{AP}$（四分之一圓�。┥系牧Ｗ又�，從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到MN板上的最長時(shí)間．

解答 解：（1）帶電粒子在電場中加速，穿出電場后勻速運(yùn)動(dòng)到O，由動(dòng)能定理得
$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$，
解得v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$．
（2）當(dāng)沿OB方向射入的粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)打到Q時(shí)，
粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑${r}_{0}=\frac{L}{2}$，
由洛倫茲力提供向心力得，$qv{B}_{0}=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{0}}$，
聯(lián)立解得${B}_{0}=\frac{2}{L}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$．
為了MN能收集到粒子，所加磁場B$≤\frac{2}{L}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$．
（3）從$\overline{AB}$收集到的粒子有$\frac{2}{3}$能打到MN板上，則剛好不能打到MN上的粒子從磁場中出來后速度的方向與MN平行，則入射方向與AB之間的夾角是60°，在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，軌跡圓心角θ=60°，
根據(jù)幾何關(guān)系，粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=L，
對于所有能打在MN板上的粒子，在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡圓心角均60°，粒子在磁場中經(jīng)歷的時(shí)間均為${t}_{1}=\frac{T}{6}$，
粒子圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=$\frac{2πr}{v}$，
吸附在AP上所有的粒子中，沿OB方向射入的粒子離開磁場后路線最長，時(shí)間最長，如圖所示．
由幾何關(guān)系可知，s=$\frac{\frac{L}{2}}{sin60°}$，
離開磁場后的時(shí)間${t}_{2}=\frac{s}{v}=\frac{\sqrt{3}L}{3v}$，
最長時(shí)間t_max=t₁+t₂，
聯(lián)立解得${t}_{max}=\frac{（π+\sqrt{3}）L}{3v}$=$\frac{（π+\sqrt{3}）\sqrt{m}}{3\sqrt{2qU}}L$．
答：（1）粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度的大小為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）半圓形勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小需滿足的條件為B$≤\frac{2}{L}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（3）吸附在弧$\widehat{AP}$（四分之一圓�。┥系牧Ｗ又�，從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到MN板上的最長時(shí)間為$\frac{（π+\sqrt{3}）\sqrt{m}}{3\sqrt{2qU}}L$．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在電場、磁場中的運(yùn)動(dòng)，意在考查考生的綜合分析能力，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律即可正確解題．