Question

11．一傳送帶裝置如圖所示，其中AB段是水平的，長度L_AB=4m，BC段是傾斜的，長度L_BC=5m，傾角為θ=37°，AB和BC在B點(diǎn)通過一段極短的圓弧連接（圖中未畫出圓弧），傳送帶以v=4m/s的恒定速率順時針運(yùn)轉(zhuǎn)．已知工件與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，重力加速度g取10m/s²．現(xiàn)將一個工件（可看作質(zhì)點(diǎn)）無初速地放在A點(diǎn)．求：（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）工件第一次到達(dá)B點(diǎn)所用的時間；
（2）工件在運(yùn)動過程中到C點(diǎn)的最小距離；
（3）工件返回到水平傳送帶上后，到A點(diǎn)的最近距離是多大？

Answer 1

分析 （1）工件剛放在水平傳送帶上進(jìn)行受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式進(jìn)行求解時間．
（2）由動能定理求解工件上升的最大高度，再結(jié)合幾何關(guān)系求出到C點(diǎn)的最小距離．
（3）由于工件在傳送帶的傾斜段運(yùn)動時的加速度相同，在傳送帶的水平段運(yùn)動時的加速度也相同，故工件將在傳送帶上做往復(fù)運(yùn)動，找出這個過程中到A點(diǎn)的最近距離．

解答 解：（1）工件剛放在水平傳送帶上的加速度為a₁
由牛頓第二定律得：μmg=ma₁
解得：a₁=μg=0.5×10=5 m/s²
經(jīng)t₁時間與傳送帶的速度相同，則有：t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{5}$=0.8 s
前進(jìn)的位移為：x₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=$\frac{1}{2}×5×0．{8}^{2}$=1.6 m
此后工件將與傳送帶一起勻速運(yùn)動至B點(diǎn)，用時為：t₂=$\frac{{L}_{AB}{-x}_{1}}{v}=\frac{4-1.6}{4}=0.6$ s
所以工件第一次到達(dá)B點(diǎn)所用的時間為：t=t₁+t₂=0.8+0.6=1.4 s
（2）設(shè)工件上升的最大高度為h，由動能定理得：
（μmgcos θ-mgsin θ）•$\frac{h}{sinθ}$=0-$\frac{1}{2}$mv²
代入數(shù)據(jù)解得：h=2.4 m
此時工件到C點(diǎn)的距離：$s={L}_{BC}-\frac{h}{sin37°}$=5-$\frac{2.4}{0.6}$=1m
（3）工件返回B點(diǎn)的過程中重力做正功，摩擦力做負(fù)功，由動能定理有：
（mgsin θ-μmgcos θ）•$\frac{h}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-0$
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=4m/s
工件在水平傳送帶上向左運(yùn)動的過程中，克服摩擦力做功，得：
-μmg•s′=0-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：s′=1.6m
到A點(diǎn)的最近距離是：s″=L_AB-s′=4-1.6=2.4m
答：（1）工件第一次到達(dá)B點(diǎn)所用的時間是1.4 s
（2）工件在運(yùn)動過程中到C點(diǎn)的最小距離是1m；
（3）工件返回到水平傳送帶上后，到A點(diǎn)的最近距離是2.4m．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵分析清楚工件的運(yùn)動情況，根據(jù)牛頓第二定律求解出加速過程的加速度，再根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式和動能定理列式求解