Question

12．如圖，質(zhì)量為M、長(zhǎng)為L(zhǎng)、高為h的矩形木塊A置于水平地面上，木塊與地面間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ；木塊上表面光滑，其左端放置一個(gè)質(zhì)量為m的小球B，m=M．某時(shí)刻木塊和小球同時(shí)獲得向右的速度v₀后開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后小球落地．求小球落地時(shí)距木塊右端的水平距離．

Answer 1

分析 若木塊在小球滑落前已停止運(yùn)動(dòng)，小球離開(kāi)木塊后做平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出小球落地時(shí)距離木塊左端的水平距離．
木塊在小球滑落時(shí)還在運(yùn)動(dòng)，分為兩種情況，小球落地時(shí)木塊已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng)；小球落地時(shí)木塊還未停止運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．

解答 解：小球未掉落時(shí)木塊的加速度大小為a₁，根據(jù)牛頓第二定律得：${a}_{1}=\frac{μ（mg+Mg）}{M}=2μg$．
（1）如木塊在小球滑落前已停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)木塊運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t₀，有：
${t}_{0}=\frac{{v}_{0}}{2μg}$，
此時(shí)$L≤\frac{{{v}_{0}}^{2}}{4μg}$，
小球離開(kāi)木塊后做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{1}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
小球落地時(shí)距木塊的左端的水平距離x=${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}$．
則距離右端的水平距離為x′=x+L=${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}+L$．
（2）當(dāng)L$＞\frac{{{v}_{0}}^{2}}{4μg}$時(shí)，木塊在小球滑落時(shí)還在運(yùn)動(dòng)，此時(shí)木塊運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，速度為v，
${v}_{0}t-（{v}_{0}t-\frac{1}{2}×2μg{t}^{2}）=L$，
解得：t=$\sqrt{\frac{L}{μg}}$．
v=${v}_{0}-2μgt={v}_{0}-2\sqrt{μgL}$．
小球掉落后木塊繼續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小為a₂，有：
${a}_{2}=\frac{μMg}{M}=μg$，
設(shè)木塊繼續(xù)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，
${t}_{2}=\frac{v}{{a}_{2}}=\frac{{v}_{0}-2\sqrt{μgL}}{μg}$，
討論：①如小球落地時(shí)木塊已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng)．即：
$\frac{{v}_{0}-2\sqrt{μgL}}{μg}＜\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
小球落地時(shí)距木塊右端的水平距離為：x=${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}-\frac{（{v}_{0}-2\sqrt{μgL}）^{2}}{2μg}$．
討論：②如小球落地時(shí)木塊還未停止運(yùn)動(dòng)，小球落地時(shí)距木塊右端的水平距離為：
x=${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}-[（{v}_{0}-2\sqrt{μgL}）\sqrt{\frac{2h}{g}}-\frac{1}{2}μg{\sqrt{\frac{2h}{g}}}^{2}]$=$2\sqrt{2μLh}+μh$．
答：木塊在小球滑落前已停止運(yùn)動(dòng)，小球落地時(shí)距木塊的右端的水平距離為${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}+L$．；
木塊在小球滑落時(shí)還在運(yùn)動(dòng)，如小球落地時(shí)木塊已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng)，則小球落地時(shí)距木塊右端的水平距離為${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}-\frac{（{v}_{0}-2\sqrt{μgL}）^{2}}{2μg}$．
如小球落地時(shí)木塊還未停止運(yùn)動(dòng)，小球落地時(shí)距木塊右端的水平距離為$2\sqrt{2μLh}+μh$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，該題的難點(diǎn)在于需要分情況討論：（1）木塊在小球滑落前已停止運(yùn)動(dòng)；（2）木塊在小球滑落時(shí)還在運(yùn)動(dòng)．