Question

6．豎直平面內(nèi)有一半徑為R的光滑圓環(huán)軌道，一質(zhì)量為m的小球穿在圓環(huán)軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)C時(shí)的速率v_c=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$，則下述不正確的是（　�。�

• A． 小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是$\frac{4mg}{5}$
• B． 此球的最大速率是$\sqrt{6}$v_c
• C． 小球在任一直徑兩端點(diǎn)上的動(dòng)能之和相等
• D． 小球沿圓軌道繞行一周所用的時(shí)間等于$π\(zhòng)sqrt{\frac{5R}{g}}$

Answer 1

分析 因?yàn)閳A環(huán)軌道是光滑的，只有重力做功，所以機(jī)械能守恒，可以求得在最低點(diǎn)時(shí)的最大速度；
對(duì)物體受力分析，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的向心力公式可以求得對(duì)軌道的作用力，由周期公式可以知道物體運(yùn)動(dòng)的周期．

解答 解：A、在C點(diǎn)有：mg-N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，得：N=$\frac{1}{5}$mg，小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為：N′=N=$\frac{1}{5}$mg，故A錯(cuò)誤．
B、速度最大的點(diǎn)應(yīng)該是最低點(diǎn)時(shí)，根據(jù)機(jī)械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}$mvc²=2mgR，解得最大速率為：v=$\sqrt{\frac{24gR}{5}}$=$\sqrt{6}$v_c，故B正確．
B、整個(gè)過程中機(jī)械能守恒，在任一直徑兩端點(diǎn)上的點(diǎn)，它們的高度之和都是2R，即它們的重力勢(shì)能的和相等，由于總的機(jī)械能守恒，所以它們的動(dòng)能之和也相等，故C正確．
C、D、由周期T=$\frac{2πR}{v}$，當(dāng)圓環(huán)以速度最小v_c=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)周期最小，v_c=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$代入T=$\frac{2πR}{v}$，計(jì)算可得T=π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$，由于小球離開最高點(diǎn)后速度在變大，所以T要減小，所以T＜T=π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$，故D錯(cuò)誤．
本題選錯(cuò)誤的，故選：AD．

點(diǎn)評(píng) 小球穿在圓環(huán)軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，屬于桿的模型，在最高點(diǎn)時(shí)速度最小，向心力最小，最低點(diǎn)時(shí)速度最大，向心力最大，由機(jī)械能守恒可以求它們之間的關(guān)系．