Question

5．某電視娛樂(lè)節(jié)目裝置可簡(jiǎn)化為如圖所示模型．傾角θ=37°的斜面底端與水平傳送帶平滑接觸，傳送帶BC長(zhǎng)L=6m，始終以v₀=6m/s的速度順時(shí)針運(yùn)動(dòng)．將一個(gè)質(zhì)量m=1kg的物塊由距斜面底端高度h₁=5.4m的A點(diǎn)靜止滑下，物塊通過(guò)B點(diǎn)時(shí)速度的大小不變．物塊與斜面、物塊與傳送帶間動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ₁=0.5、μ₂=0.2，傳送帶上表面距地面的高度H=5m，g取10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8．
（1）求物塊由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間；
（2）若把物塊從距斜面底端高度h₂=2.4m處?kù)o止釋放，求物塊落地點(diǎn)到C點(diǎn)的水平距離；
（3）求物塊距斜面底端高度滿(mǎn)足什么條件時(shí)，將物塊靜止釋放均落到地面上的同一點(diǎn)D．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出物塊在斜面上的加速度，結(jié)合位移時(shí)間公式求出物塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的時(shí)間，物塊滑上傳送帶時(shí)，由于速度與傳送帶速度相等，將做勻速直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合位移和速度求出勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而得出物塊由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出物塊滑動(dòng)斜面底端的速度，物塊滑上傳送帶先加速，當(dāng)速度達(dá)到傳送帶速度后做勻速運(yùn)動(dòng)，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出水平位移的大�。�
（3）物塊每次均拋到同一點(diǎn)D，由平拋知識(shí)知：物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度必須有v_C=v₀，抓住兩個(gè)臨界狀態(tài)，即滑上傳送帶一直做勻加速直線運(yùn)動(dòng)和滑上傳送帶一直做勻減速運(yùn)動(dòng)，結(jié)合動(dòng)力學(xué)知識(shí)求出兩種臨界情況下的高度，從而得出高度的范圍．

解答 解：（1）物塊從A到B過(guò)程：根據(jù)牛頓第二定律得：
mgsinθ-μ₁mgcosθ=ma₁
由位移公式有：$\frac{{h}_{1}}{sinθ}$=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$    
代入數(shù)據(jù)解得：a₁=2m/s²，t₁=3s．
所以滑到B點(diǎn)的速度：v_B=a₁t₁=2×3m/s=6m/s 
物塊在傳送帶上勻速運(yùn)動(dòng)到C，有：
t₂=$\frac{l}{{v}_{0}}$=$\frac{6}{6}$=1s
所以物塊由A到B的時(shí)間為：t=t₁+t₂=3s+1s=4s
（2）物塊在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由根據(jù)動(dòng)能定理得：
mgh₂-μ₁mgcosθ$\frac{{h}_{2}}{sinθ}$=$\frac{1}{2}$mv²．
解得：v=4m/s＜6m/s
設(shè)物塊在傳送帶先做勻加速運(yùn)動(dòng)達(dá)v₀，運(yùn)動(dòng)位移為x，則：
a₂=$\frac{{μ}_{2}mg}{m}$=μ₂g=2m/s²，
又 v₀²-v²=2ax，
解得：x=5m＜6m
所以物體先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)后和皮帶一起勻速運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，有：
s=v₀t₀，
H=$\frac{1}{2}$gt₀² 　　
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：s=6m
（3）因物塊每次均拋到同一點(diǎn)D，由平拋知識(shí)知：物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度必須有v_C=v₀
①當(dāng)離傳送帶高度為h₃時(shí)物塊進(jìn)入傳送帶后一直勻加速運(yùn)動(dòng)，則有：
mgh₃-μ₁mgcosθ $\frac{{h}_{3}}{sinθ}$+μ₂mgL=$\frac{1}{2}$mv₀²
代入數(shù)據(jù)解得：h₃=1.8m
②當(dāng)離傳送帶高度為h₄時(shí)物塊進(jìn)入傳送帶后一直勻減速運(yùn)動(dòng)，有：
mgh₄-μ₁mgcosθ $\frac{{h}_{4}}{sinθ}$-μ₂mgL=$\frac{1}{2}$mv₀²；
代入數(shù)據(jù)解得：h₄=9.0m
所以當(dāng)離傳送帶高度在1.8m～9.0m的范圍內(nèi)均能滿(mǎn)足要求，即：1.8m≤h≤9.0m
答：（1）物塊由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間為4s；
（2）物塊落地點(diǎn)到C點(diǎn)的水平距離為6m；
（3）當(dāng)1.8m≤h≤9.0m，將物塊靜止釋放均落到地面上的同一點(diǎn)D．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的運(yùn)用，關(guān)鍵理清物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，選擇合適的定律或定理進(jìn)行求解．