Question

9．假設(shè)地球同步衛(wèi)星和月球都繞地球做勻速圓周運動，已知萬有引力常量為G，地球質(zhì)量為M，半徑為R．地球的自轉(zhuǎn)周期為T．月球到地心的距離為r，求：
（1）月球的運行速度；
（2）同步衛(wèi)星距離地面的高度；
（3）同步衛(wèi)星和月球的運行周期之比．

Answer 1

分析 （1）月球繞地球的萬有引力提供向心力，求出運行速度
（2）地球的同步衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，可以求出地球同步衛(wèi)星的高度．
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力求出月球的運行周期，再求比值

解答 解：（1）月球繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$
（2）同步衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期，有：
$G\frac{Mm′}{（R+h）_{\;}^{2}}=m′\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得：$h=\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$
（3）月球繞地球運行做勻速圓周運動，有：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{′2}}r$
解得：$T′=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$
同步衛(wèi)星和月球的運行周期之比為：$\frac{T}{T′}=\frac{T}{\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}}=T\sqrt{\frac{GM}{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}}$
答：（1）月球的運行速度$\sqrt{\frac{GM}{r}}$；
（2）同步衛(wèi)星距離地面的高度$\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$；
（3）同步衛(wèi)星和月球的運行周期之比$T\sqrt{\frac{GM}{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}}$．

點評 解答此題要清楚月球繞地球做勻速圓周運動靠萬有引力提供向心力，地球的同步衛(wèi)星的萬有引力提供向心力且周期等于地球自轉(zhuǎn)周期．