Question

7．如圖所示，傳送帶與水平面之間的夾角為θ=37°，以v=2m/s的恒定速率逆時針轉動．一個質量為m=1kg的小物塊以初速度v₀=10m/s從傳送帶兩端A、B之間的中點開始沿傳送帶向上運動．已知物體與傳送帶之間的動摩擦因數為μ=0.5，A、B之間的距離為L=20.4m．求：（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）物體沿傳送帶向上運動的最大距離為多少？
（2）物體在傳送帶上運動的總時間？
（3）物體在傳送帶上由于摩擦而產生的熱量為多少？

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求出物體的加速度，應用勻變速直線運動的運動學公式求出其位移；
（2）由牛頓第二定律求出物體的加速度，應用運動學公式求出物體在各階段的運動時間，然后求出物體的運動時間；
（3）求出物體與傳送帶間的相對位移，然后求出摩擦產生的熱量．

解答 解：（1）物體經過時間t₁沿傳送帶向上運動速度為零，在時間t₁內，物體的位移為x₁，傳送帶位移為x₂，
對物體，由牛頓第二定律得：mgsinθ+μmgcosθ=ma₁，
由勻變速直線運動的速度公式得：v₀=a₁t₁，由勻變速直線運動的位移公式得：x₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²，
對傳送帶，有：x₂=vt₁，解得：a₁=10m/s²，t₁=1s，x₁=5m，x₂=2m，
物體沿傳送帶向上運動的最大距離為：x₁=5m；
（2）物體經過時間t₂沿傳送帶向下運動速度和傳送帶共速，在時間t₂內，
物體的位移為x₃，傳送帶位移為x₄，此過程物體的受力情況不變，加速度為a₁不變，
對物體，由勻變速直線運動的速度公式得：v=a₁t₂，由位移公式得：x₃=$\frac{1}{2}$a₁t₂²，
傳送帶的位移：x₄=vt₂，解得：t₂=0.2s，x₃=0.2m，x₄=0.4m，
物體經過時間t₃沿傳送帶向下恰好離開傳送帶，設離開時速度為v′，
在時間t₃內，物體的位移為x₅，傳送帶位移為x₆，
對物體，由牛頓第二定律得：mgsinθ-μmgcosθ=ma₂，
物體的速度：v′=v+a₂t₃，物體的位移：x₅=vt₃+$\frac{1}{2}$a₂t₃²，
對傳送帶的位移：x₆=vt₃，由題意知：x₅=$\frac{1}{2}$L+x₁-x₃，
解得：a₂=2m/s²，x₅=15m，t₃=3s，x₆=6m，v′=8m/s，
設物體在傳送帶上運動的總時間為t，有：t=t₁+t₂+t₃，解得：t=4.2s；
（3）設物體在傳送帶上相對傳送帶運動的總路程為x，有：
x=（ x₁+x₂）+（ x₄-x₃）+（x₅-x₆），解得：x=16.2m，
設物體在傳送帶上由于摩擦而產生的熱量為Q，有：
Q=μmgxcosθ，解得：Q=64.8J；
答：（1）物體沿傳送帶向上運動的最大距離為：5m；
（2）物體在傳送帶上運動的總時間為4.2s；
（3）物體在傳送帶上由于摩擦而產生的熱量為：64.8J．

點評 本題考查牛頓第二定律以及運動學基本公式的直接應用，要注意正確掌握能量的轉化方向，同時注意掌握由于摩擦產生的內能等于摩擦力與相對位移的乘積，即Q=μmg△x，難度適中．