Question

宇宙間存在一個(gè)離其它星體遙遠(yuǎn)的四星系統(tǒng)，其中有一種四星系統(tǒng)如圖所示，四顆質(zhì)量均為m的星體位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，正方形的邊長(zhǎng)為a，忽略其它星體對(duì)它們的引力作用，四顆星都在同一平面內(nèi)繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力常數(shù)為G，則（　�。�

A．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為 (1+ 2 4 ) Gm a

B．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度大小為 Gm 2 a3

C．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2π 2 a3 Gm

D．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與質(zhì)量m有關(guān)

Answer 1

由星體均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)可知，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑
  r=

2

2

a
每顆星體在其他三個(gè)星體萬(wàn)有引力的合力作用下圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力定律和向心力公式得：
  G

m2

( 2 a)2

+2G

m2

a2

cos45°=m

v2

( 2 2 a)

解得 v=

(1+ 2 4 ) Gm a

角速度為ω=

v

r

=

( 2 + 1 2 ) Gm a3

周期為 T=

2π

ω

=2π

2a3 (2 2 +1)Gm

加速度a=

v2

r

=

(2 2 +1)Gm

2a2

故選AD