Question

17．如圖所示是一個(gè)水位高度控制裝置的示意圖，當(dāng)水位到達(dá)高H時(shí)，水恰好頂起塞子A從出水孔流出，水位下降后，塞子A又把出水孔堵住，塞子A底部是半徑為r的半球，半球恰好塞入出水孔中．已知球的體積公式是V=$\frac{4π{r}^{3}}{3}$，球表面面積公式是S_球=4πr²，圓面積公式是S_圓=πr²，水的密度為ρ，為滿(mǎn)足水位高度自動(dòng)控制的要求，塞子的質(zhì)量應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 浸沒(méi)在液體中的固體受到的浮力等于固體各表面所受液體壓力的合力；我們可以先設(shè)想半球體下表面有液體，求出此時(shí)下表面受到的液體壓力和半球體受到的浮力，從而求出此時(shí)液體對(duì)半球體上表面的壓力

解答 解：假設(shè)半球下表面處全部為液體，
則半球受到的浮力F_浮方向豎直向上，由阿基米德原理可知，
F_浮=ρgV_排=ρgV_半球=ρg×$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$πr³=$\frac{2}{3}$ρgπr³；
由p=$\frac{F}{S}$可知，半球下表面受到的液體壓力：
F_下=p_下S_圓=p_液S_圓=ρgH×πr²，方向豎直向上，
半球受到的浮力F_浮等于半球下表面與上表面所受液體對(duì)它的壓力合力，
即：F_浮=F_向上-F_向下，F(xiàn)_向上=F_向下+F_浮=πr²ρgH+$\frac{2}{3}$ρgπr³，
半球恰好塞入出水口中，所以塞子的重力G=F_上=πr²ρgH+$\frac{2}{3}$gπr³，
塞子的質(zhì)量應(yīng)為m=$\frac{G}{g}$=$\frac{π{r}_{\;}^{2}ρgH+\frac{2}{3}ρgπ{r}_{\;}^{3}}{g}$=πr²ρH+$\frac{2}{3}$ρπr³=ρπr²（H+$\frac{2}{3}$r）．
答：塞子的質(zhì)量應(yīng)為ρπr²（H+$\frac{2}{3}$r）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了物體的浮沉條件及其應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是知道阿基米德定律，計(jì)算浮力的常用計(jì)算方法：稱(chēng)重法、壓力差法、阿基米德原理法．