Question

2．如圖所示，電量均為+q的兩個點電荷相距2r，O點是其連線的中點，P點是其中垂線上的電場強度最大的點．已知靜電力常量為k，關于P點的位置和P點的電場強度，下列描述正確的是（　�。�

• A． OP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$r，E_p=$\frac{3kq}{4{r}^{2}}$
• B． OP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，E_p=$\frac{4\sqrt{3}kq}{9{r}^{2}}$
• C． OP=r，E_p=$\frac{\sqrt{2}kq}{2{r}^{2}}$
• D． OP=$\sqrt{3}$r，E_p=$\frac{\sqrt{3}kq}{4{r}^{2}}$

Answer 1

分析 設PO=x，根據點電荷場強公式E=k$\frac{Q}{{r}^{2}}$和電場的疊加原理得到P點的場強E_p與x的關系式，再由數學知識求解．

解答 解：設PO=x，則兩個點電荷在P點產生的場強大小均為 E=k$\frac{q}{{x}^{2}+{r}^{2}}$，設E的方向與x軸正方向的夾角為α．則P點的電場強度為：
E_P=2Ecosα=2k$\frac{q}{{x}^{2}+{r}^{2}}$•$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{r}^{2}}}$=$\frac{2kqx}{（{x}^{2}+{r}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$
求導得：E_P′=$\frac{2kq（{x}^{2}+{r}^{2}）^{\frac{3}{2}}-2kqx•\frac{3}{2}•\sqrt{{x}^{2}+{r}^{2}}•（2x）}{（{x}^{2}+{r}^{2}）^{3}}$
當E_P′=0時，E_P最大，由上式解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，E_p=$\frac{4\sqrt{3}kq}{9{r}^{2}}$
故選：B

點評 解決本題的關鍵要列出E_p與x的關系式，運用數學知識求解極值，要扎實的數學基本功，并能熟練運用．