Question

【題目】如圖所示，以O(shè)為圓心、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直圓面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，一粒子源位于圓周上的M點(diǎn)，可向磁場區(qū)域內(nèi)垂直磁場沿各個方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為－q的粒子，不計粒子重力，N為圓周上另一點(diǎn)，半徑OM和ON間的夾角θ，且滿足tan＝0.5.

(1)若某一粒子以速率v1＝沿與MO成60°角斜向上方向射入磁場，求此粒子在磁場中運(yùn)動的時間；

(2)若某一粒子以速率v2沿MO方向射入磁場，恰能從N點(diǎn)離開磁場，求此粒子的速率v2；

(3)若由M點(diǎn)射入磁場各個方向的所有粒子速率均為v2，求磁場中有粒子通過的區(qū)域面積．

Answer 1

【答案】 (1) (2) (3) πR2－R2

【解析】(1)粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，設(shè)軌跡半徑為r1，由牛頓第二定律可得qv1B＝，解得r1＝＝R.

粒子沿與MO成60°角的方向射入磁場，設(shè)粒子從區(qū)域邊界P點(diǎn)射出，其運(yùn)動軌跡如圖所示．由圖中幾何關(guān)系可知粒子軌跡所對應(yīng)的圓心角為α＝150°.

法二：粒子運(yùn)動周期T＝，

粒子在磁場中的運(yùn)動的時間t＝T，解得t＝.

(2)粒子以速率v2沿MO方向射入磁場，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，恰好從N點(diǎn)離開磁場，其運(yùn)動軌跡如圖所示，設(shè)粒子軌跡半徑為r2，由圖中幾何關(guān)系可得

r2＝Rtan＝R，

由牛頓第二定律可得

qv2B＝，

解得v2＝.

(3)粒子沿各個方向以v2進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動時的軌跡半徑都為r2，且不變．由圖可知，粒子在磁場中通過的面積S等于以O(shè)3為圓心的半圓的面積S1、以M為圓心的扇形MOQ的面積S2和以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓弧MQ與直線MQ圍成的面積S3之和．

S1＝π＝πR2，S2＝πR2，

S3＝πR2－R2，

則S＝S1＋S2＋S3＝πR2－R2