Question

17．如圖，在直角坐標系xOy中，點M（0，l）處不斷向抄方向發(fā)射出大量質量為m、帶電量為-q的粒子（不計粒子重力），粒子的初速度大小廣泛分布于零到v₀之間．已知這些粒子此后所經磁場區(qū)域的磁感應強度大小均相同，方向垂直于紙面向里，其中0≤x≤l區(qū)域內的磁場分布如圖所示（即虛線MP下方無磁場），l≤x≤2l區(qū)域無磁場，2l≤x≤3l區(qū)域的磁場分布未畫出．己知所有粒子都沿+x方向經過，0≤x≤2l區(qū)域，且都沿-y的方向通過點N（3l，0），其中速度大小為v₀的粒子剛好從P點通過．則：
（1）求磁場的磁感應強度B
（2）求出2l≤x≤3l區(qū)域內符合要求的磁場范圍的最小面積：
（3）若其中速度為αv₀和βv₀的兩個粒子同時到達N點（0＜β＜α＜1），求二者發(fā)射的時間差△t．

Answer 1

分析 （1）在0-l區(qū)域，速度為v₀的粒子偏轉90°后從P離開磁場，求出圓周運動的半徑，根據(jù)半徑公式求解B；
（2）帶電粒子沿y軸正方向射入，在磁場的洛倫茲力作用下發(fā)生偏轉，然后所以粒子沿+x方向經過b區(qū)域，則磁場的右邊界由數(shù)學關系推導出與R無關，而是一條直線．那么磁場的左邊界則是一段圓弧，其半徑由洛倫茲力提供向心力公式求解得．由于對稱，則可求出磁場的最小面積．
（3）兩種粒子在磁場中運動時間是相等，它們發(fā)射的時間差是因速度不同導致的．

解答 解：（1）在0-l區(qū)域，速度為v₀的粒子偏轉90°后從P離開磁場，則：
r=l=$\frac{m{v}_{0}}{Bq}$
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{lq}$
（2）此后粒子均沿+x方向穿過l-2l區(qū)域，進入2l-3l區(qū)域，
由對稱性可知，其磁場區(qū)域如圖，磁場面積最小，最小面積為S=$\frac{1}{4}π{l}^{2}-\frac{1}{2}{l}^{2}$
（3）速度為αv₀的粒子在磁場中做勻速圓周運動的時間t=${t}_{1}+{t}_{2}=2×\frac{πm}{2Bq}=\frac{πm}{Bq}$，則該段時間與粒子速度無關，
而速度為αv₀的粒子在沒有磁場區(qū)域做勻速直線運動的時間$t′=\frac{2（l-R）+l}{α{v}_{0}}+\frac{l}{{αv}_{0}}=\frac{4l-2R}{α{v}_{0}}$，其中R為速度為αv₀的粒子做圓周運動的半徑，
且R=$\frac{mα{v}_{0}}{Bq}=αl$，所以$t′=\frac{（4-2α）l}{α{v}_{0}}$，
同理速度為βv₀的粒子做勻速直線運動的時間為$t″=\frac{（4-2β）l}{β{v}_{0}}$
所以這兩個粒子的發(fā)射時間差$△t=t″-t′=\frac{4l}{{v}_{0}}（\frac{1}{β}-\frac{1}{α}）$．
答：（1）磁場的磁感應強度B為$\frac{m{v}_{0}}{lq}$；
（2）2l≤x≤3l區(qū)域內符合要求的磁場范圍的最小面積為$\frac{1}{4}π{l}^{2}-\frac{1}{2}{l}^{2}$；
（3）若其中速度為αv₀和βv₀的兩個粒子同時到達N點（0＜β＜α＜1），則二者發(fā)射的時間差△t為$\frac{4l}{{v}_{0}}（\frac{1}{β}-\frac{1}{α}）$．

點評 利用數(shù)學表達式，導出磁場右邊界的函數(shù)關系式．同時相同粒子不同速度在磁場中的時間是相等，由于速度的不同，導致直線運動中時間不一．