Question

16．如圖所示為同一平面內(nèi)同一圓心的兩個(gè)圓形軌道，半徑分別為R₁=10m，R₂=5m．A、B兩小車靜止在軌道上，且A、B、O三點(diǎn)在同一直線上，此時(shí)A、B相距最近．t=0時(shí)刻A、B同時(shí)啟動(dòng)，已知它們的速率均勻增加，且每秒均增加0.6m/s，當(dāng)速率達(dá)到v=3m/s后均保持速率不變．求：
（1）A、B加速過程中，B、O連線轉(zhuǎn)過的角度與A、O連線轉(zhuǎn)過的角度之差為多少弧度．
（2）從A、B開始運(yùn)動(dòng)到A、B再次相距最近經(jīng)歷的最短時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）將兩小車的運(yùn)動(dòng)類比于勻加速直線運(yùn)動(dòng)，計(jì)算出加速過程運(yùn)動(dòng)的弧長，再分別計(jì)算出兩車轉(zhuǎn)過的角度，最后求出B、O連線轉(zhuǎn)過的角度與A、O連線轉(zhuǎn)過的角度之差；
（2）先計(jì)算出兩車運(yùn)動(dòng)的角速度，找到兩車再次相距最近要滿足的條件ω_Bt-ω_At=2nπ（n=1，2，3，4…），計(jì)算出再次相距最近的最短時(shí)間．

解答 解：（1）A、B兩小車的速率均勻增加，且每秒均增加0.6m/s，當(dāng)速率達(dá)到v=3m/s后均保持速率不變
將A、B兩小車的運(yùn)動(dòng)類比于勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則加速度a=0.6m/s²，末速度v=3m/s
則加速的時(shí)間t₁=$\frac{v-0}{a}$=5s
這段時(shí)間運(yùn)動(dòng)的弧長l=$x=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=7.5m$
對(duì)A車有：${θ}_{A}=\frac{l}{{R}_{1}}=0.75rad$
對(duì)B車有：${θ}_{B}=\frac{l}{{R}_{2}}=1.5rad$
故△θ=θ_B-θ_A=0.75rad
（2）A車運(yùn)動(dòng)的角速度${ω}_{A}=\frac{{θ}_{A}}{{t}_{1}}=\frac{0.75rad}{5s}=0.15rad/s$
B車運(yùn)動(dòng)的角速度${ω}_{B}=\frac{{θ}_{B}}{{t}_{1}}=\frac{1.5rad}{5s}=0.3rad/s$
從A、B開始運(yùn)動(dòng)到A、B再次相距最近需滿足ω_Bt-ω_At=2nπ（n=1，2，3，4…）
時(shí)間最短，即n=1時(shí)，ω_Bt-ω_At=2π
解得t=$\frac{40}{3}π\(zhòng)\;s$ s≈41.9s
答：（1）A、B加速過程中，B、O連線轉(zhuǎn)過的角度與A、O連線轉(zhuǎn)過的角度之差為0.75弧度．
（2）從A、B開始運(yùn)動(dòng)到A、B再次相距最近經(jīng)歷的最短時(shí)間t為41.9s．

點(diǎn)評(píng) 本題難度中上，解題關(guān)鍵是先計(jì)算出弧長，算出運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過的角度，最后計(jì)算兩車角速度，找到要再次相距最近需滿足的條件．另外注意各物理量的單位不能錯(cuò)．