Question

10．如圖所示，一個$\frac{3}{4}$圓弧形光滑細圓管軌道ABC，放置在豎直平面內，軌道半徑為R，在A 點與水平地面AD相接，地面與圓心O等高，MN是放在水平地面上長為3R、厚度不計的墊子，左端M正好位于A點．將一個質量為m、直徑略小于圓管直徑的小球從A處管口正上方某處由靜止釋放，不考慮空氣阻力．
（1）若小球從C點射出后恰好能打到墊子的M端，則小球經(jīng)過C點時對管的作用力大小和方向如何？
（2）欲使小球能通過C點落到墊子上，小球離A點的高度的取值范圍是多少？
（3）如果你是一個玩具設計員，小球離A點的高度H確定的情況下，要使小球能打在MN上最遠，請你設計一下圓弧半徑R應為多少？并求出最遠距離．

Answer 1

分析 （1）小球離開C點做平拋運動，由平拋運動的規(guī)律可以求得C點速度的大�。�小球通過C點時，由重力和圓管的作用力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求得圓管對小球的作用力，由牛頓第三定律得到小球對圓管的作用力；
（2）小球平拋運動的水平位移最大為4R，最小為R，根據(jù)平拋運動的規(guī)律和機械能守恒結合求解．
（3）根據(jù)平拋運動的規(guī)律和機械能守恒結合得到平拋的水平距離與圓弧半徑R的關系，再由數(shù)學知識求解．

解答 解：（1）小球離開C點做平拋運動，則
  豎直方向：R=$\frac{1}{2}$gt²
  水平方向：R=v₁t  
聯(lián)立解得，v₁=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
設小球以v₁經(jīng)過C點受到管對它的豎直向上的作用力為F_N，有：
   mg-F_N=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：F_N=$\frac{1}{2}$mg
由牛頓第三定律可知，小球對管作用力的大小為$\frac{1}{2}$mg，方向豎直向下．
（2）小球由靜止釋放的高度最大時，小球運動的水平位移為4R，打到N點．設能夠落到N點的水平速度為v₂，有：
  v₂=$\frac{4R}{t}$=$\sqrt{8gR}$
設小球離A點的最大高度為H₂，根據(jù)機械能守恒定律可知：
  mg（H₂-R）=$\frac{1}{2}$mv₂²
解得：H₂=5R             
同理：設小球離A點的最小高度為H₁，有
  mg（H₁-R）=$\frac{1}{2}$mv₁²
解得：H₁=$\frac{5}{4}$R                  
因此欲使小球能通過C點落到墊子上，小球離A點的高度的取值范圍是：$\frac{5}{4}$R≤H≤5R．
（3）根據(jù)機械能守恒定律得：mg（H-R）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
平拋運動的水平位移 x=v_Ct，時間 t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
聯(lián)立得 x=2$\sqrt{R（H-R）}$
根據(jù)數(shù)學知識知，當R=H-R即R=$\frac{1}{2}H$時x最大，x的最大值為 x_max=$\frac{1}{2}$H
答：（1）若小球從C點射出后恰好能打到墊子的M端，則小球經(jīng)過C點時對管的作用力大小為大小為$\frac{1}{2}$mg，方向豎直向下．
（2）欲使小球能通過C點落到墊子上，小球離A點的高度的取值范圍是$\frac{5}{4}$R≤H≤5R．
（3）當圓弧半徑R為$\frac{1}{2}$H時小球能打在MN上最遠，最遠距離是$\frac{1}{2}$H．

點評 本題首先要明確物體的運動過程，根據(jù)物體的不同的運動狀態(tài)，采用相應的物理規(guī)律求解即可．會運用數(shù)學上函數(shù)法求最值．