Question

11．在高級(jí)瀝青鋪設(shè)的高速公路上，汽車的設(shè)計(jì)時(shí)速是108km/h．汽車在這種路面上行駛時(shí)，它的輪胎與地面的最大靜摩擦力等于車重的0.6倍（取g=10m/s²）．
（1）如果汽車在這種高速公路的水平彎道上拐彎，假設(shè)彎道的路面是水平的，其彎道的最小半徑是多少？
（2）如果高速公路上設(shè)計(jì)了圓弧拱形立交橋，要使汽車能夠以設(shè)計(jì)時(shí)速安全通過圓弧拱橋，這個(gè)圓弧拱形立交橋的半徑至少是多少？

Answer 1

分析 （1）汽車在水平路面上拐彎，可視為汽車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力由車與路面間的靜摩擦力提供，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí)，由向心力公式可知這時(shí)的半徑最小，利用向心力公式求解；（2）汽車過圓弧拱橋，可看作在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，根據(jù)向心力公式求解判斷．

解答 解：（1）由題意知速度v=108 km/h=30 m/s，
汽車在水平路面上拐彎，可視為汽車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力由車與路面間的靜摩擦力提供，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí)，由向心力公式可知這時(shí)的半徑最小，有：
${F}_{max}=0.6mg=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{min}}$．
得彎道半徑為：r_min=150 m．
（2）汽車過圓弧拱橋，可看作在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，根據(jù)向心力公式有：
mg-F_N=m$\frac{v2}{R}$．
為了保證安全通過，車與路面間的彈力F_N必須大于等于零，有mg≥m$\frac{v2}{R}$，則R≥90 m．即這個(gè)圓弧拱形立交橋的半徑至少是90m．
答：（1）彎道的最小半徑是150m
（2）圓弧拱形立交橋的半徑至少是90m．

點(diǎn)評(píng) （1）讀懂題，知道向心力由車與路面間的靜摩擦力提供，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí)，由向心力公式可知這時(shí)的半徑最小，這是解答第一問的關(guān)鍵；
（2）汽車能夠以設(shè)計(jì)時(shí)速安全通過圓弧拱橋，則車與路面間的彈力F_N必須大于等于零，即mg≥m$\frac{v2}{R}$，由此公式可解答第二問．