Question

5．如圖，光滑水平面上有一質量為M的平板車，其上表面是一段長為L的粗糙水平軌道，左側連一半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道．圓弧軌道與水平軌道在O′點相切．車右端豎直墻壁固定一個處于鎖定狀態(tài)的彈簧，質量為m的小物塊（可視為質點）處于車的右端緊靠彈簧放置，小物塊與水平軌道間的動摩擦因數(shù)μ，整個裝置處于靜止狀態(tài)，現(xiàn)將彈簧解除鎖定，小物塊在極短時間內(nèi)被彈出，恰能到達圓弧軌道的最高點A．之后又從A點滑下，已知M=4m，重力加速度為g，若小物塊最終不會滑離小車，求小物塊與車相對靜止時的速度及其與車右端點的距離x．

Answer 1

分析 解除鎖定以后，從小物塊滑上平板車，恰能到達圓弧軌道的最高點A．之后又從A點滑下，到二者相對靜止的過程中，應用動量守恒定律與能量守恒定律求解．

解答 解：平板車和小物塊組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，
設小物塊到達圓弧最高點A時，二者的共同速度，規(guī)定向左為正方向，由動量守恒得：
mv₀=（M+m）v₁…①
由能量守恒得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²+μmg•L+mgR…②
解得：v₀=$\sqrt{\frac{5（μgL+gR）}{2}}$
平板車和小物塊組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，到二者相對靜止的過程中，以向左為正方向，由動量守恒定律得：
mv₀=（M+m）v′
v′=$\sqrt{\frac{μgL+gR}{10}}$，
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v′²+μmg•S
S=L+$\frac{R}{μ}$；
所以小物塊與車右端點的距離x=2L-S=L-$\frac{R}{μ}$；
答：小物塊與車相對靜止時的速度是$\sqrt{\frac{μgL+gR}{10}}$，與車右端點的距離是L-$\frac{R}{μ}$．

點評 本題是系統(tǒng)水平方向動量守恒和能量守恒的問題，求解兩物體間的相對位移，往往根據(jù)能量守恒研究．