Question

6．如圖，一輕質(zhì)彈簧原長為2R，其一端固定在傾角為37°的固定直軌道AC的底端A處，另一端位于直軌道上B處，彈簧處于自然狀態(tài)，質(zhì)量為m的小物塊P自C點由靜止開始下滑，AC=7R，P與直軌道間的動摩擦因數(shù)μ=0.25，重力加速度大小為g．（取sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）求P第一次運動到B點時速度的大�。�
（2）小物塊P自C點由靜止開始下滑，最低達到E點，（未畫出），隨后P沿軌道倍彈回，最高達到F點，AF=4R，求P運動到E點時彈簧的彈性勢能；
（3）直軌道AC與一半徑為$\frac{5}{6}$R的光滑圓弧軌道相切于C點，斜面與圓弧軌道均在同一豎直平面內(nèi)，改變物塊P的質(zhì)量，將P推至E點，從靜止開始釋放．已知P滑到圓弧軌道后仍可沿圓弧軌道滑下，求P質(zhì)量的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對C到B運動過程應用動能定理求解；
（2）對C到E和E到F過程分別應用動能定理，即可聯(lián)立求得CE及彈性勢能；
（3）根據(jù)P仍沿圓弧軌道返回得到P的運動范圍，再利用動能定理即可求解．

解答 解：（1）CB=AC-AB=5R，P從C運動到B只有重力、摩擦力做功，故由動能定理可得：$mgCBsin37°-μmgcos37°•CB=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-0$，故${v}_{B}=\sqrt{2gCB（sin37°-μcos37°）}=2\sqrt{gR}$；
（2）P從C運動到E只有重力、摩擦力、彈簧彈力做功，設P運動到E點時彈簧的彈性勢能為E_p，那么由動能定理可得：mgCEsin37°-μmgCEcos37°-E_p=0；
P從E運動到F只有重力、摩擦力、彈簧彈力做功，那么由動能定理可得：E_p-mgEFsin37°-μmgcos37°EF=0；
所以，$CE=\frac{1+μcot37°}{1-μcot37°}EF=2EF=2CF=6R$，所以，E_p=0.4mgCE=0.8mgCF=2.4mgR；
（3）物塊從E到C運動過程只有重力、摩擦力、彈簧彈力做功，那么，由動能定理可得：${E}_{p}-m′gCEsin37°-μm′gCEcosθ=\frac{1}{2}m′{{v}_{C}}^{2}$；
又有P滑到圓弧軌道后仍可沿圓弧軌道滑下，那么，P能到達的最高點為圓弧軌道的最右點，故由P在圓弧軌道上運動只有重力做功，機械能守恒可得：$0≤\frac{1}{2}m′{v}^{2}≤m′grcos37°=\frac{2}{3}m′gR$；
所以，$m′g6R×0.6+0.25m′g6R×0.8≤{E}_{p}≤m′g6R×0.6+0.25m′g6R×0.8+\frac{2}{3}m′gR$，即$4.8m′gR≤2.4mgR≤\frac{82}{15}m′gR$；
所以，$\frac{18m}{41}≤m′≤\frac{m}{2}$；
答：（1）P第一次運動到B點時速度的大小為$2\sqrt{gR}$；
（2）小物塊P自C點由靜止開始下滑，最低達到E點，（未畫出），隨后P沿軌道倍彈回，最高達到F點，AF=4R，則P運動到E點時彈簧的彈性勢能為2.4mgR；
（3）直軌道AC與一半徑為$\frac{5}{6}$R的光滑圓弧軌道相切于C點，斜面與圓弧軌道均在同一豎直平面內(nèi)，改變物塊P的質(zhì)量，將P推至E點，從靜止開始釋放．已知P滑到圓弧軌道后仍可沿圓弧軌道滑下，則P質(zhì)量的取值范圍為$\frac{18m}{41}≤m′≤\frac{m}{2}$．

點評 經(jīng)典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關系求解．