Question

18．一根長(zhǎng)L=0.5m的細(xì)繩，當(dāng)它受到F_m=20N的拉力時(shí)會(huì)被拉斷，今將它的一端拴著質(zhì)量m=0.4kg的小球，以另一端為中心，使小球在光滑水平面上以L為半徑做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求：
（1）當(dāng)小球的運(yùn)動(dòng)速度v₀=2.0m/s時(shí)，小球的向心加速度大小a；
（2）細(xì)繩剛好被拉斷時(shí)，小球的角速度ω：
（3）通過(guò)計(jì)算判斷該細(xì)繩所栓的小球能否在豎直平面內(nèi)剛好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向心加速度公式求出小球的向心加速度．
（2）根據(jù)最大拉力，結(jié)合拉力提供向心力求出小球的角速度．
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的臨界速度，結(jié)合動(dòng)能定理和牛頓第二定律求出最低點(diǎn)繩子的拉力，與最大拉力比較，判斷小球能否在豎直平面內(nèi)剛好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．

解答 解：（1）小球的向心加速度為：a=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}=\frac{4}{0.5}m/{s}^{2}=8m/{s}^{2}$．
（2）細(xì)繩剛好被拉斷時(shí)，有：${F}_{m}=mL{ω}^{2}$
解得：$ω=\sqrt{\frac{{F}_{m}}{mL}}=\sqrt{\frac{20}{0.4×0.5}}rad/s=10rad/s$．
（3）若小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)，根據(jù)mg=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$得最高點(diǎn)的最小速度為：${v}_{1}=\sqrt{gL}=\sqrt{5}$m/s，
根據(jù)動(dòng)能定理得：$mg•2L=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v₂=5m/s，
根據(jù)牛頓第二定律得：F-mg=$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{L}$
解得：F=$mg+m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{L}=4+0.4×\frac{25}{0.5}N=24N$＞F_m，
可知小球不能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．
答：（1）小球的向心加速度大小為8m/s²；
（2）細(xì)繩剛好被拉斷時(shí)，小球的角速度為10rad/s．
（3）小球不能在豎直平面內(nèi)剛好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，難度不大．