Question

2．迄今發(fā)現(xiàn)的二百余顆太陽系外行星大多不適宜人類居住，繞恒星“Gliese581”運(yùn)行的行星“G1-58lc”卻很值得我們期待．該行星的溫度在O℃到40℃之間、質(zhì)量是地球的6倍、直徑是地球的1.5倍、公轉(zhuǎn)周期為13個(gè)地球日．“Gliese581”的質(zhì)量是太陽質(zhì)量的0.31倍．設(shè)該行星與地球均視為質(zhì)量分布均勻的球體，繞其中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則（　　）

• A． 在該行星和地球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度相同
• B． 如果人到了該行星，其體重是地球上的$\frac{8}{3}$倍
• C． 該行星的公轉(zhuǎn)半徑與日地距離相等
• D． 該行星公轉(zhuǎn)速率是地球的$\frac{1}{13}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式表示出所要求解的第一宇宙速度和該行星與“Gliese581”的距離．根據(jù)萬有引力近似等于重力，求出該行星表面與地球表面重力加速度之比，即可求出體重關(guān)系．

解答 解：A、當(dāng)衛(wèi)星繞行星表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度即為行星的第一宇宙速度，由$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
得v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，M是行星的質(zhì)量，R是行星的半徑，則得該行星與地球的第一宇宙速度之比為v_行：v_地=$\frac{\sqrt{\frac{6GM}{1.5R}}}{\sqrt{\frac{GM}{R}}}=\frac{2}{1}$．故A錯(cuò)誤；
B、由萬有引力近似等于重力，得$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
得行星表面的重力加速度為g=$G\frac{M}{{R}^{2}}$，則得該行星表面與地球表面重力加速度之比為g_行：g_地=$\frac{\frac{6GM}{（1.5R）^{2}}}{\frac{GM}{{R}^{2}}}=\frac{8}{3}$所以如果人到了該行星，其體重是地球上的$\frac{8}{3}$倍．故B正確；
C、根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
行星“G1-58lc”公轉(zhuǎn)周期為13個(gè)地球日．
將已知條件代入解得：行星“G1-58lc”的軌道半徑與地球軌道半徑r_行G：r_日地=$\root{3}{\frac{0.31×（13）^{2}}{（365）^{2}}}$≠1，故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)公式得：v=$\frac{2πr}{T}$，r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，所以v=2π$\root{3}{\frac{GM}{4{π}^{2}T}}$，該行星公轉(zhuǎn)速率與地球公轉(zhuǎn)速率之比是$\root{3}{\frac{0.31×365}{13}}$≈2.05，故D錯(cuò)誤；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題行星繞恒星、衛(wèi)星繞行星的類型，建立模型，根據(jù)萬有引力提供向心力，萬有引力近似等于重力進(jìn)行求解．