Question

4．在如圖所示xoy坐標(biāo)系第一象限的三角形區(qū)域（坐標(biāo)如圖中所標(biāo)注）內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在x軸下方有沿+y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E．將一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子（重力不計(jì)）從P（0，-a）點(diǎn)由靜止釋放．由于x軸上存在一種特殊物質(zhì)，使粒子每經(jīng)過一次x軸后速度大小變?yōu)榇┻^前的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍．
（1）欲使粒子能夠再次經(jīng)過x軸，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀最小是多少？
（2）在磁感應(yīng)強(qiáng)度等于第（1）問中B₀的情況下，求粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)榈冢?）問中B₀的2倍，求粒子運(yùn)動(dòng)的總路程．

Answer 1

分析 （1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的軌跡圓與磁場(chǎng)邊界相切時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為B₀．由幾何知識(shí)求出半徑，然后由牛頓第二定律確定磁場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由t=$\frac{θ}{2π}$T求運(yùn)動(dòng)時(shí)間之和；
（3）由數(shù)學(xué)歸納法求出當(dāng)粒子第n次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，其在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和前進(jìn)的路程的表達(dá)式，然后由等比數(shù)列的求和公式求出總路程．

解答 解：（1）設(shè)粒子到O點(diǎn)時(shí)的速度為v₀，由動(dòng)能定理有：
qEa=$\frac{1}{2}$mv₀² 
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2qEa}{m}}$ 
粒子經(jīng)過O點(diǎn)后，速度為v₁，v₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$v₀=$\sqrt{\frac{qEa}{m}}$ 
如圖甲所示，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的軌跡圓與磁場(chǎng)邊界相切時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為B₀．設(shè)粒子軌道半徑為R₁，有：
R₁=$\sqrt{3}$atan30°=a
由：qB₀v₁=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$ 
得：B₀=$\frac{m{v}_{1}}{q{R}_{1}}$=$\sqrt{\frac{mE}{qa}}$
（2）如圖甲，粒子經(jīng)O₁點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域做勻減速運(yùn)動(dòng)，后又加速返回，再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率v₂=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²v₁=$\frac{1}{2}$v₁ 
此時(shí)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：R₂=$\frac{1}{2}$R₁=$\frac{1}{2}$a
其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，此后不再進(jìn)入磁場(chǎng)．由幾何關(guān)系可知，∠MO₁′O₁=60°
則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=$\frac{{T}_{1}}{2}$+$\frac{{T}_{1}}{6}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2π{R}_{1}}{{v}_{1}}$+$\frac{1}{6}$•$\frac{2π{R}_{x}}{{v}_{x}}$=$\frac{4π}{3}$$\sqrt{\frac{ma}{qE}}$ 
（3）若B=2B₀，粒子的運(yùn)動(dòng)情況如圖乙所示，

粒子經(jīng)過O點(diǎn)第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率仍為v₁，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑記為R₁′，由第（1）問可知，v₁=$\sqrt{\frac{qEa}{m}}$，R₁′=$\frac{a}{2}$
粒子從O₁點(diǎn)穿過x軸進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)速率為v₁′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$v₁=$\sqrt{\frac{qEa}{2m}}$，運(yùn)動(dòng)到P₁點(diǎn)后返回，則由動(dòng)能定理：
-qE$\overline{{O}_{1}{P}_{1}}$=0-$\frac{1}{2}$mv₁′²    
解得：$\overline{{O}_{1}{P}_{1}}$=$\frac{a}{4}$ 
當(dāng)粒子第二次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率：v₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$v₁′=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{qEa}{m}}$=$\frac{1}{2}{v}_{1}$ 
做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：R₂′=$\frac{a}{4}$ 
粒子從O₂點(diǎn)穿過x軸進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)速率為：v₂′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$v₂=$\sqrt{\frac{qEa}{8m}}$，
運(yùn)動(dòng)到P₂點(diǎn)后返回，則由動(dòng)能定理：-qE$\overline{{O}_{2}{P}_{2}}$=0-$\frac{1}{2}$mv₂′² 
解得：$\overline{{O}_{2}{P}_{2}}$=$\frac{a}{16}$ 
依此類推可知，當(dāng)粒子第n次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，其在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R_n′=$\frac{a}{{2}^{n}}$，再進(jìn)入電場(chǎng)中前進(jìn)的距離$\overline{{O}_{n}{P}_{n}}$=$\frac{a}{{4}^{n}}$
因此，粒子運(yùn)動(dòng)的總路程為 s=π（R₁+R₂+…R_n）+2（$\overline{{O}_{1}{P}_{1}}$+$\overline{{O}_{2}{P}_{2}}$+…+$\overline{{O}_{n}{P}_{n}}$）+$\overline{OP}$=π（$\frac{a}{2}$+$\frac{a}{4}$+…+$\frac{a}{{2}^{n}}$）+2（$\frac{a}{4}$+$\frac{a}{16}$+…+$\frac{a}{{4}^{n}}$）+a=（π+$\frac{5}{3}$）a
答：（1）欲使粒子能夠再次經(jīng)過x軸，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀最小是$\sqrt{\frac{mE}{qa}}$；
（2）在磁感應(yīng)強(qiáng)度等于第（1）問中B₀的情況下，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間$\frac{4π}{3}$$\sqrt{\frac{ma}{qE}}$；
（3）若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)榈冢?）問中B₀的2倍，粒子運(yùn)動(dòng)的總路程（π+$\frac{5}{3}$）a．

點(diǎn)評(píng) 本題作為壓軸題涉及的每一問之間有一定梯度，第一問和第二問為常規(guī)題型，只要有一定的物理功底即可拿到分?jǐn)?shù)，第三問的難度具有一定的選拔性，若想成為優(yōu)中之優(yōu)一定要重視數(shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用．