Question

15．人們利用飛鳥的翅膀制造了飛機的機翼，從而使飛機遨游天空，其基本原理是：鳥與飛機在空中飛行時，受到向上的升力分別是由鳥的翅膀和機翼上下表面的壓力差產生的，假設鳥飛行時獲得的升力與飛機在跑道上滑行時獲得向上的升力有相同的規(guī)律，均滿足F=cSv²，式中c為比例系數(shù)且為定值，S為鳥翅膀或飛機機翼的面積，v為運動速度，已知某類型飛機的機翼面積s₂是鳥翅膀面積S₁的1000倍，鳥質量m₁=0.15kg，飛機質量m₂=1.5×10⁴kg，鳥能離開地面飛行時的最小速度為12m/s，如果飛機在跑道上由靜止開始勻加速滑行時的加速度a=12m/s²，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）此飛機的跑道至少為多長
（2）如果飛機起飛后在空中水平飛行時受到的空氣阻力f與飛機飛行速度v的平方成正比，則當飛機升空到某一高度水平飛行時保持水平推力不變，作變加速運動，當速度為v₁時，加速度為a₁，當速度為v₂時，加速度為a₂，當速度為v₃時，此時飛機勻速飛行，則a₁與a₂的比值為多少．

Answer 1

分析 （1）鳥正常飛行和飛機正常飛行時，升力等于重力，即可求得飛機起飛速度，由運動學公式求的位移；
（2）根據(jù)牛頓第二定律即可求得加速度之比

解答 解：（1）鳥正常飛行時
F=m₁g
F=CS₁v²
聯(lián)立解得$c=\frac{{m}_{1}g}{{S}_{1}{v}^{2}}$
飛機剛好起飛時
${m}_{2}g=c{S}_{2}v{′}^{2}$
聯(lián)立解得v′=120m/s
由運動學公式可知
$x=\frac{v{′}^{2}}{2a}=\frac{12{0}^{2}}{2×12}m=600m$
（2）由牛頓第二定律可知
$F-{kv}_{1}^{2}=m{a}_{1}$
$F-{kv}_{2}^{2}=m{a}_{2}$
F=${kv}_{3}^{2}$
聯(lián)立解得$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{v}_{3}^{2}{-v}_{1}^{2}}{{v}_{3}^{2}{-v}_{2}^{2}}$
答：（1）此飛機的跑道至少為600m
（2）a₁與a₂的比值為$\frac{{v}_{3}^{2}{-v}_{1}^{2}}{{v}_{3}^{2}{-v}_{2}^{2}}$

點評 本題主要考查了牛頓第二定律，通過信息知道m(xù)g=cSv²，和F-f=ma即可求得