Question

14．如圖所示的xOy坐標(biāo)系中，y軸右側(cè)空間存在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于xOy 平面向里．P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（-L，0），M₁、M₂兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，L）、（0，-L）．質(zhì)量為 m，電荷量為 q 的帶負(fù)電粒子A₁，靠近極板經(jīng)過(guò)加速電壓為U的電場(chǎng)靜止加速后，沿PM₁方向運(yùn)動(dòng)．有一質(zhì)量也為 m、不帶電的粒子A₂靜止在M₁點(diǎn)，粒子A₁經(jīng)過(guò)M₁點(diǎn)時(shí)與 A₂發(fā)生碰撞，碰后粘在一起成為一個(gè)新粒子 A₃進(jìn)入磁場(chǎng)（碰撞前后質(zhì)量守恒、電荷量守恒），通過(guò)磁場(chǎng)后直接到達(dá) M₂，在坐標(biāo)為（-$\frac{1}{3}$L，0）處的 C點(diǎn)固定一平行于y軸放置絕緣彈性擋板，C為擋板中點(diǎn)．假設(shè)帶電粒子與彈性絕緣擋板碰撞前后，沿y方向分速度不變，沿 x 方向分速度大小不變、方向相反．不計(jì)所有粒子的重力及粒子間的相互作用力．
（1）粒子A₁與A₂碰后瞬間的速度大�。�
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（3）若粒子A₂帶負(fù)電，且電荷量為q'，發(fā)現(xiàn)粒子A₃與擋板碰撞兩次，能返回到P點(diǎn)，求粒子A₂ 的電荷量q'．

Answer 1

分析 （1）粒子A₁經(jīng)電場(chǎng)加速，由動(dòng)能定理可以求出碰前的速度v，碰撞前后動(dòng)量守恒，就能求出粒子A₁與A₂碰后瞬間的速度大�。�
（2）粒子A₃在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)直接到達(dá)M₂點(diǎn)，由幾何關(guān)系求出A₃做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由洛侖茲力提供向心力就能求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（3）碰后由于總電量增大，則粒子A₃在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r₄減小，但離開(kāi)磁場(chǎng)后恰能與C板碰撞兩次又回到P點(diǎn)．由粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)和碰撞的對(duì)稱性，畫(huà)出粒子的軌跡，由幾何關(guān)系求出粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r₄，由洛侖茲力提供向心力就能求出A₃的總電量，也就求出了A₂的電量．

解答  解：（1）粒子A₁經(jīng)電壓U加速：$Uq=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
與靜止的A₂發(fā)生碰撞，由動(dòng)量守恒定律：mv=2mv₃
聯(lián)立可得：v₃=$\sqrt{\frac{Uq}{2m}}$
（2）粒子A₃在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示
  由幾何關(guān)系可知粒子A₃做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r₃=O₃M₁=$\frac{L}{cos45°}=\sqrt{2}L$
對(duì)粒子A₃，洛侖茲力提供向心力：$q{v}_{3}B=2m\frac{{{v}_{3}}^{2}}{{r}_{3}}$
從而求得：B=$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{Um}{q}}$
（3）若讓A₂帶上負(fù)電q′，由于總的電荷量變大，則A₃粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的
半徑減小設(shè)為r₄，由題設(shè)畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，進(jìn)入磁場(chǎng)的方向與PM₁平行，
每次在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)一次，沿y軸的負(fù)方向下移距離：
   $△{y}_{1}=2{r}_{4}cos45°=\sqrt{2}{r}_{4}$ 
離開(kāi)磁場(chǎng)的方向與M₂P平行．從磁場(chǎng)出來(lái)與C板碰撞再進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，粒子沿y軸正方向上
移的距離：
  $△{y}_{2}=2\overline{OC}tan45°=\frac{2}{3}L$
由題意經(jīng)過(guò)兩次與C板碰撞后回到P點(diǎn)，則有：
  3△y₁-2△y₂=2L
聯(lián)立以上兩式可得：${r}_{4}=\frac{5\sqrt{2}}{9}L$ 
而對(duì)粒子A3做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)有：$（q+q′）B{v}_{3}=2m\frac{{{v}_{3}}^{2}}{{r}_{4}}$
聯(lián)立以上可得：q′=4q
答：（1）粒子A₁與A₂碰后瞬間的速度大小為$\sqrt{\frac{Uq}{2m}}$．
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{Um}{q}}$．
（3）若粒子A₂帶負(fù)電，且電荷量為q'，發(fā)現(xiàn)粒子A₃與擋板碰撞兩次，能返回到P點(diǎn)，則粒子A₂ 的電荷量q'為4q．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)在于第三問(wèn)：首先確定的是進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)方向與PM₁平行，離不開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)與M₂P平行，由于粒子與C板碰撞兩次后回到P點(diǎn)，由粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)三次，離開(kāi)磁場(chǎng)兩次，三次向下偏移的距離與兩次向上偏移的距離之差恰為M₁M₂之間的距離．