Question

12．如圖所示，在水平地面上放置一塊質(zhì)量為M的長平板B，在平板的上方某一高度處有一質(zhì)量為m的物塊P由靜止開始落下．在平板上方附近存在“相互作用”的區(qū)域（如圖中虛線所示區(qū)域），當(dāng)物塊P進(jìn)入該區(qū)域內(nèi)，B便會對P產(chǎn)生一個(gè)豎直向上的恒力f作用，使得P恰好不與B的上表面接觸，且f=kmg，其中k=11．在水平方向上P、B之間沒有相互作用力．已知平板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=2.0×10^-3，平板和物塊的質(zhì)量之比$\frac{M}{m}$=10．在P開始下落時(shí)，平板B向左運(yùn)動(dòng)的速度v₀=1.0m/s，P從開始下落到進(jìn)入相互作用區(qū)域經(jīng)歷的時(shí)間t₀=2.0s．設(shè)平板B足夠長，保證物塊P總能落到B板上方的相互作用區(qū)域內(nèi)，忽略物塊P受到的空氣阻力，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）物塊P從開始下落到再次回到初始位置所經(jīng)歷的時(shí)間．
（2）從物塊P開始下落到平板B的運(yùn)動(dòng)速度減小為零的這段時(shí)間內(nèi)，P能回到初始位置的次數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的公式求出物體P進(jìn)入相互作用區(qū)域時(shí)的速度大小，結(jié)合牛頓第二定律求出進(jìn)入相互作用區(qū)域的加速度，通過運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，抓住運(yùn)動(dòng)的對稱性求出物塊P從開始下落到再次回到初始位置所經(jīng)歷的時(shí)間．
（2）根據(jù)動(dòng)量定律求出在一個(gè)周期內(nèi)動(dòng)量的變化量，得出速度的變化量，從而通過整個(gè)過程中速度的變化量求出物塊P開始下落到平板B的運(yùn)動(dòng)速度減小為零的這段時(shí)間內(nèi)，P能回到初始位置的次數(shù)．

解答 解：（1）物塊P進(jìn)入相互作用區(qū)域時(shí)的速度為V₁，則
v₁=gt₀=20m/s
物塊P從進(jìn)入相互作用區(qū)域到速度減小為零的過程中，受到重力和平板的相互作用，設(shè)物塊在相互作用區(qū)域內(nèi)的下落的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律：
kmg-mg=ma
設(shè)在相互作用區(qū)域內(nèi)的下落時(shí)間為t，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式
t=$\frac{{v}_{1}}{a}$
而物塊從開始下落到回到初始位置的時(shí)間
T=2（t+t₀）=$\frac{2k}{k-1}$t₀=4.4s．
（2）設(shè)在一個(gè)運(yùn)動(dòng)的周期T內(nèi)，平板B的速度減小量為△v，根據(jù)動(dòng)量定理有
μMg•2t₀+μ（Mg+f）•2t=M△v
解得：
△v=$\frac{2μgk{t}_{0}（1+\frac{m}{M}）}{k-1}$=9.7×10^-3m/s．
P回到初始位置的次數(shù)：
n=$\frac{{v}_{0}}{△v}$=10.3，
n應(yīng)取整數(shù)，即n=10．
答：（1）物塊P從開始下落到再次回到初始位置所經(jīng)歷的時(shí)間為4.4s．
（2）從物塊P開始下落到平板B的運(yùn)動(dòng)速度減小為零的這段時(shí)間內(nèi)，P能回到初始位置的次數(shù)為10．

點(diǎn)評 本題綜合考查了動(dòng)量定理、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式等，綜合性較強(qiáng)，難度中等，需加強(qiáng)這類題型的訓(xùn)練．