Question

1．如圖所示，ABC為固定在豎直平面內(nèi)的軌道，AB為光滑的$\frac{1}{4}$圓弧，與粗糙水平面BC相切，將質(zhì)量m=0.5kg的 滑塊從A點(diǎn)靜止釋放，滑塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.1，滑塊從B點(diǎn)滑行L=14m后到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度為v₁=6m/s．現(xiàn)將BC間的一段MN用鐵刷劃擦，使該段的動(dòng)摩擦因數(shù)變?yōu)棣?SUB>2=0.35，再使滑塊從A點(diǎn)靜止釋放，到達(dá)C點(diǎn)的速度為v₂=4m/s．g取10m/s²．求：
（1）圓弧的半徑R；
（2）MN段的長(zhǎng)度l；
（3）若BC間用鐵刷劃擦的MN段的長(zhǎng)度不變，要使滑塊從B到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，問鐵刷劃擦的MN段位于何位置？并求滑塊滑行的最長(zhǎng)時(shí)間．（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）滑塊第一次從B到C，由動(dòng)能定理可求得滑塊經(jīng)過B點(diǎn)的速度．對(duì)滑塊由A到B，由動(dòng)能定理列式，可求得圓弧的半徑R．
（2）滑塊第二次從B到C，由動(dòng)能定理列式，可求得MN段的長(zhǎng)度l．
（3）MN在最左端時(shí)滑塊從B到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)速度位移關(guān)系公式研究MN段，得到此過程滑塊到N的速度．再平均速度求滑行的總時(shí)間．

解答 解：（1）滑塊第一次從B到C，由動(dòng)能定理得：
-μ₁mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得滑塊經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度  v₀=8m/s
滑塊由A到B，由動(dòng)能定理得
 mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 R=3.2m
（2）滑塊第二次從B到C，由動(dòng)能定理得：
-μ₁mg（L-l）-μ₂mgl=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 l=4m
（3）由題意分析可知，MN在最左端時(shí)滑塊從B到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)．設(shè)此過程滑塊到N的速度為v₃，則
在MN段，有 ${v}_{3}^{2}-{v}_{0}^{2}=2{μ}_{1}gl$
解得 v₃=6m/s
所以滑塊滑行的最長(zhǎng)時(shí)間 t=$\frac{l}{\frac{{v}_{0}+{v}_{3}}{2}}$+$\frac{L-l}{\frac{{v}_{3}+{v}_{2}}{2}}$
解得 t=2.57s
答：
（1）圓弧的半徑R是3.2m；
（2）MN段的長(zhǎng)度l是4m；
（3）鐵刷劃擦的MN段位于最左端時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，滑塊滑行的最長(zhǎng)時(shí)間是2.57s．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及力在空間的效應(yīng)，運(yùn)用動(dòng)能定理是常用的思路，要反復(fù)運(yùn)用動(dòng)能定理列式解答，列式時(shí)要抓住各個(gè)過程之間的聯(lián)系，如速度關(guān)系．