Question

20．如圖所示，一長為L的輕繩，一端固定在天花板上，另一端系一質(zhì)量為m的小球，球繞豎直軸O₁O₂作勻速圓周運動，繩與豎直軸之間的夾角為θ，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 繩對球的拉力小大為$\frac{mg}{cosθ}$
• B． 繩對球的拉力大小為$\frac{mg}{tanθ}$
• C． 球需要的向心力大小為mgcotθ
• D． 球轉(zhuǎn)速增大，繩偏離豎直軸線的夾角變小

Answer 1

分析 首先對球進(jìn)行受力分析，在豎直方向上，根據(jù)力的平衡可以得知繩子對球的拉力大��；由此可得知選項AB的正誤．
對繩子的拉力進(jìn)行正交分解，可求得在水平方向上的分量，即是小球做勻速圓周運動的向心力．由此可知選項C的正誤．
列出角度與轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系式，可得知繩子與豎直方向的夾角與轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系，即可判知選項D的正誤．

解答 解：ABC、對球進(jìn)行受力分析，受重力和繩子的拉力作用，如圖，合力提供向心力，對繩子的拉力進(jìn)行正交分解，
在豎直方向上有：Tcosθ=mg
解得：T=$\frac{mg}{cosθ}$
在水平方向上有：F_n=Tsinθ
解得：F_n=mgtanθ
選項A正確，BC錯誤．
D、設(shè)轉(zhuǎn)速為n轉(zhuǎn)每秒，則角速度為ω=2πn，設(shè)懸線的長度為L．在半徑為r=Lsinθ
則有：mgtanθ=mω²r=m×4π²n²×Lsinθ
得：cosθ=$\frac{g}{4{π}^{4}{n}^{2}L}$
當(dāng)n變大時，θ將變大，選項D錯誤．
故選：A

點評 圓錐擺的特點：
設(shè)擺球的質(zhì)量為m，擺長為l，與豎直方向的夾角為θ，擺球的線速度、角速度、周期和頻率依次為v、ω、T和f．
1、圓錐擺模型的受力特點--只受兩個力：
豎直向下的重力（mg）和沿擺線方向的拉力（F），二力的合力就是擺球做圓周運動的向心力（Fn）．
2、向心力和向心加速度的計算：
向心力為：F_n=ma_n=mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{lsinθ}$=mω²lsinθ=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$lsinθ=m（2πf）²lsinθ
向心加速度為：a_n=$\frac{{F}_{n}}{m}$=gtanθ=$\frac{{v}^{2}}{lsinθ}$=ω²lsinθ=$（\frac{2π}{T}）^{2}$lsinθ=（2πf）²lsinθ
3、擺線拉力的計算：
F=$\frac{mg}{cosθ}$=$\frac{{F}_{n}}{sinθ}$=mω²l=m$（\frac{2π}{T}）^{2}l$=m（2πf）²l
4、周期T、頻率f和角速度ω的計算：
T=2π$\sqrt{\frac{lcosθ}{g}}$=2π$\sqrt{\frac{h}{g}}$
f=$\frac{1}{2π}$$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$=$\frac{1}{2π}$$\sqrt{\frac{g}{h}}$
ω=$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$=$\sqrt{\frac{g}{h}}$
以上三式中：h=lcosθ