Question

20．如圖所示，一質(zhì)量為m的小球，可視為質(zhì)點(diǎn)，系于長(zhǎng)為R的輕繩的一端，繩的另一端固定在空間的O點(diǎn)，輕繩柔軟且不可伸長(zhǎng)，現(xiàn)把小球從O點(diǎn)的正上方離O點(diǎn)的距離為$\frac{3}{4}$R的O₁點(diǎn)以水平速度v₀=$\sqrt{\frac{2gR}{3}}$拋出．求：
（1）繩繃直后瞬間，小球的速度；
（2）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的正下方時(shí)，小球的速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，結(jié)合幾何關(guān)系，確定此時(shí)繩子剛好繃直時(shí)小球所處的位置，將該速度分解沿繩子和垂直繩方向，抓住繃緊后瞬間僅剩下垂直繩子方向的分速度求出繃緊后瞬間小球的速度．
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒求出小球運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)正下方時(shí)的速度．

解答 解：小球做平拋運(yùn)動(dòng)．設(shè)繩即將伸直時(shí)，繩與豎直方向的夾角為θ，
則 v₀t=Rsinθ，$\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{3}{4}R-Rcosθ$，
解得θ=90°，可知繩子處于水平狀態(tài)時(shí)，繩子繃直，
根據(jù)h=$\frac{3}{4}R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{3R}{2g}}$，
設(shè)此時(shí)小球速度與水平方向的夾角為α，則tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{gt}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{\frac{3gR}{2}}}{\sqrt{\frac{2gR}{3}}}=\frac{3}{2}$，
將小球的速度分解為沿繩子方向和垂直繩子方向，繃直后的瞬間，僅剩下垂直繩子方向的分速度，
即v_⊥=vsinα=${v}_{y}=\sqrt{\frac{3gR}{2}}$，
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律得，$mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{⊥}}^{2}$，
解得v=$\sqrt{\frac{7gR}{2}}$．
答：（1）繩繃直后瞬間，小球的速度為$\sqrt{\frac{3gR}{2}}$；
（2）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的正下方時(shí)，小球的速度為$\sqrt{\frac{7gR}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是將小球的運(yùn)動(dòng)分為三個(gè)過(guò)程進(jìn)行分析討論，平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程、突然繃緊的瞬時(shí)過(guò)程和變速圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程；然后根據(jù)對(duì)各段運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)位移公式、速度分解法則、機(jī)械能守恒定律進(jìn)行求解，有一定的難度．