Question

5．宇宙中恒星的壽命不是無窮的，一部分恒星最后會弧形成密度非常大的“中子星”．設某一中子星的密度是ρ，若要使探測器繞該中子星做勻速圓周運動以探測中子星，探測器的運轉周期最小值為多少？（萬有引力常量為G）．

Answer 1

分析 探測器繞該中子星做勻速圓周運動，距離中子星越近周期越小，故當探測器貼近該中子星表面運行時的周期是最小周期，此時萬有引力提供向心力，可以解出該中子的質量M的表達式，再根據密度的定義式，代入數據化簡，可解得探測器的最小周期．

解答 解：設中子星的半徑為R，質量為M．
探測器繞中子星表面做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力有：
 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
則該中子星的質量為：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
所以該中子行的密度為：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
所以探測器的運轉周期最小值：T=$\sqrt{\frac{3π}{ρG}}$
答：探測器的運轉周期最小值為$\sqrt{\frac{3π}{ρG}}$．

點評 本題要注意探測器繞該中子星做勻速圓周運動，距離中子星越近周期越小，故當探測器貼近該中子星表面運行時的周期是最小周期．