Question

2．一置于豎直平面內(nèi)、傾角θ=37°的光滑斜面的頂端連結(jié)一光滑的半徑為R，圓心角為143°的圓弧軌道，圓弧軌道與斜面相切于P點(diǎn)，一輕質(zhì)彈簧的下端與光滑斜面底端的固定擋板連接，上端與小球接觸（不連接），靜止在Q點(diǎn)．在P點(diǎn)由靜止釋放一小滑塊，滑塊在Q點(diǎn)與小球相碰，碰后瞬間小球嵌入滑塊，形成一個(gè)組合體．組合體沿著斜面上升到PQ的中點(diǎn)時(shí)速度為零．已知小球和滑塊質(zhì)量均為m，PQ之間的距離為2R，重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8．（計(jì)算結(jié)果可含根式）
（1）求碰撞后瞬間，組合體的速度大小；
（2）求碰撞前彈簧的彈性勢(shì)能；
（3）若在P點(diǎn)給滑塊一個(gè)沿斜面向下的初速度v₀，滑塊與小球相碰后，組合體沿斜面上滑進(jìn)入圓弧軌道，從軌道最高點(diǎn)M離開后做平拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到與圓心O等高時(shí)，組合體與O點(diǎn)的距離為2R，求初速度v₀的大�。�

Answer 1

分析 （1）對(duì)滑塊從P到Q應(yīng)用機(jī)械能守恒得到碰前速度，然后由動(dòng)量守恒求得碰后組合體速度；
（2）對(duì)碰后到PQ中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理求解；
（3）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得到組合體在M點(diǎn)的速度，然后由動(dòng)能定理求得碰后速度，再根據(jù)動(dòng)量守恒求得碰前滑塊的速度，即可由機(jī)械能守恒求得初速度．

解答 解：（1）滑塊從P滑到Q的過(guò)程只有重力做功，機(jī)械能守恒，故有：$2mgRsinθ=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
故滑塊滑到Q點(diǎn)時(shí)的速度為：${v}_{1}=\sqrt{2.4gR}$；
滑塊和小球發(fā)生完全非彈性碰撞，故由動(dòng)量守恒可得，碰撞后瞬間組合體速度為：$v=\frac{m{v}_{1}}{m+m}=\sqrt{0.6gR}$；
（2）組合體從碰后瞬間到PQ中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程只有重力、彈簧彈力做功，故由動(dòng)能定理可得：${E}_{p}-2mgRsinθ=0-\frac{1}{2}×2m{v}^{2}$
所以，碰撞前彈簧的彈性勢(shì)能${E}_{p}=2mgRsinθ-m{v}^{2}=0.6mgR$；
（3）對(duì)組合體從M點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得：$R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，2R=v_Mt
解得：${v}_{M}=\frac{2R}{t}=\frac{2R}{\sqrt{\frac{2R}{g}}}=\sqrt{2gR}$；
組合體碰后瞬間從Q到M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，重力和彈簧彈力做功，故由動(dòng)能定理可得：${E}_{p}-2mg（2Rsinθ+R+Rcosθ）=\frac{1}{2}×2m{{v}_{M}}^{2}-\frac{1}{2}×2mv{′}^{2}$，
故碰后瞬間組合體的速度為：$v′=\sqrt{{{v}_{M}}^{2}-\frac{{E}_{p}}{m}+2gR（2sinθ+1+cosθ）}$=$\sqrt{7.4gR}$；
故由動(dòng)量守恒可得：碰前瞬間滑塊的速度為：$v=\frac{2mv′}{m}=2\sqrt{7.4gR}$；
滑塊從P到Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程只有重力做功，機(jī)械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+2mgRsinθ$
解得：${v}_{0}=\sqrt{{v}^{2}-4gRsinθ}=\sqrt{27.2gR}$；
答：（1）碰撞后瞬間，組合體的速度大小為$\sqrt{0.6gR}$；
（2）碰撞前彈簧的彈性勢(shì)能為0.6mgR；
（3）若在P點(diǎn)給滑塊一個(gè)沿斜面向下的初速度v₀，滑塊與小球相碰后，組合體沿斜面上滑進(jìn)入圓弧軌道，從軌道最高點(diǎn)M離開后做平拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到與圓心O等高時(shí)，組合體與O點(diǎn)的距離為2R，那么初速度v₀的大小為$\sqrt{27.2gR}$．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．