Question

3．如圖所示，粗糙的水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離也是R．用質(zhì)量m=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，彈簧和物塊具有的彈性勢(shì)能為E_p，釋放后物塊從桌面右邊緣D點(diǎn)飛離桌面后，由P點(diǎn)沿圓軌道切線落入圓軌道．已知物塊與桌面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，CD間距離S_CD=0.5m．（g=10m/s²），求：
（1）D點(diǎn)的速度v_D；
（2）E_p的大小
（3）判斷m能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)物塊做平拋運(yùn)動(dòng)的P點(diǎn)的速度方向，由豎直位移求得豎直分速度，進(jìn)而得到在D點(diǎn)的速度；
（2）對(duì)物塊從C到D運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理即可求得彈性勢(shì)能；
（3）根據(jù)速度合成求得在P點(diǎn)的速度，然后根據(jù)動(dòng)能定理求得能到達(dá)M點(diǎn)時(shí)的速度，最后通過(guò)牛頓第二定律求得能通過(guò)M點(diǎn)時(shí)在M點(diǎn)的速度范圍，進(jìn)而求解．

解答 解：（1）設(shè)物塊由D點(diǎn)到P點(diǎn)做初速度v_D的平拋運(yùn)動(dòng)，落到P點(diǎn)時(shí)其豎直速度為${v}_{y}=\sqrt{2gR}$=4m/s；
又有物塊在P點(diǎn)的速度沿圓軌道切線方向，所以，${v}_{D}={v}_{y}tan45°=\sqrt{2gR}=4m/s$；
（2）物塊從C到D運(yùn)動(dòng)過(guò)程只有摩擦力和彈簧彈力做功，故由動(dòng)能定理可得：${E}_{p}=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}+μmg{S}_{CD}=1.7J$；
（3）物塊在P點(diǎn)的速度${v}_{P}=\frac{{v}_{y}}{cos45°}=4\sqrt{2}m/s$；
設(shè)物塊能沿軌道到達(dá)M點(diǎn)，其速度為v_M，從P到M運(yùn)動(dòng)過(guò)程只有重力做功，故機(jī)械能守恒，所以有$\frac{1}{2}m{{v}_{p}}^{2}=mgR（1+cos45°）+\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}$；
所以，${v}_{M}=\sqrt{{{v}_{P}}^{2}-2gR（1+cos45°）}=\sqrt{16-8\sqrt{2}}m/s$；
若物塊能通過(guò)M點(diǎn)，那么在M點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：$mg≤\frac{m{v}_{M}{′}^{2}}{R}$，所以，${v}_{M}′=\sqrt{gR}=\sqrt{8}＞{v}_{M}$，所以，物塊不能到達(dá)M點(diǎn)；
答：（1）D點(diǎn)的速度v_D為4m/s；
（2）E_p的大小為1.7J；
（3）m不能沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．