Question

17．如圖所示，直線MN下方無(wú)磁場(chǎng)，上方空間存在兩個(gè)有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，分布在以O(shè) 點(diǎn)為圓心、半徑為R和2R的兩半圓之間區(qū)域的磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，分布在以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為R的半圓內(nèi)的磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電微粒從P點(diǎn)沿半徑方向向左側(cè)射出，最終打到Q點(diǎn)，不計(jì)微粒的重力．
求：（1）微粒在磁場(chǎng)中從P點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)90°所用的時(shí)間；
（2）微粒從P點(diǎn)到Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最大速度；
（3）微粒從P點(diǎn)到Q點(diǎn)可能的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)周期公式以及粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，即可求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）作出速度最大時(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后求出粒子的軌道半徑，根據(jù)半徑公式即可求出粒子的速度；
（3）根據(jù)題意作出粒子可能的運(yùn)動(dòng)軌跡，由牛頓第二定律與數(shù)學(xué)知識(shí)分析得出粒子運(yùn)動(dòng)的可能的情況，然后由周期公式結(jié)合所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角即可求出粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）微粒在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)90°所用的時(shí)間為周期的$\frac{1}{4}$T=$\frac{2πm}{qB}$
微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{Bq}$ ①
t=$\frac{T}{4}$ ②
聯(lián)立①②式可得：t=$\frac{πm}{2qB}$
（2）粒子從P點(diǎn)到Q點(diǎn)，速度越大，則運(yùn)動(dòng)半徑越大．半徑最大時(shí)可能的運(yùn)動(dòng)情況如圖所示，

此時(shí)運(yùn)動(dòng)半徑r=R，此時(shí)要求磁場(chǎng)區(qū)域外半徑為（1+$\sqrt{2}$）R，不符合題意；
那么軌跡有可能為下圖所示

此時(shí)根據(jù)幾何關(guān)系可得：r=Rtan30° ③
根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ④
聯(lián)立③④式可得：v=$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$
（3）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為n段圓弧，

若n為偶數(shù)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間恰好為整數(shù)個(gè)周期
t=$\frac{nπm}{qB}$ （n=2，4，6…）
若n為奇數(shù)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為整數(shù)個(gè)周期加一個(gè)優(yōu)弧對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間
t=$\frac{（n-1）}{2}•\frac{2πm}{qB}+\frac{π（1+\frac{1}{n}）}{2π}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{{（n}^{2}+1）πm}{nqB}$  （n=1，3，5…）
答：：（1）微粒在磁場(chǎng)中從P點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)90°所用的時(shí)間為$\frac{πm}{2qB}$；
（2）微粒從P點(diǎn)到Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最大速度為$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$；
（3）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)可能的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{nπm}{qB}$；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)可能的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{{（n}^{2}+1）πm}{nqB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系去解決問(wèn)題，根據(jù)題意作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合題意找出相應(yīng)的臨界條件是正確解題的前提與關(guān)鍵．