Question

4．某興趣小組設(shè)計了如圖所示的玩具軌道，其中“2008”四個等高數(shù)字用內(nèi)壁光滑的薄壁細圓管彎成，固定在豎直平面內(nèi)（所有數(shù)字均由圓或半圓組成，圓半徑比細管的內(nèi)徑大得多），底端與水平地面相切．彈射裝置將一個小物體（可視為質(zhì)點）以某一水平初速度由a點彈出，從b點進入軌道，依次經(jīng)過“8002”后從p點水平拋出．已知數(shù)字“8”每個小圓的半徑r=0.1m，數(shù)字“0”的半徑R=0.2m，小物體質(zhì)量m=0.1kg，且小物體運動過程中在每一個數(shù)字的最低點的速度大小均為v₁=3m/s，在每一數(shù)字的最高點的速度大小均為v₂=1m/s，g取10m/s²．求：

（1）小物體經(jīng)過數(shù)字“8”的最低點時管道對小物體作用力的大��；
（2）小物體經(jīng)過數(shù)字“0”的最高點時管道對小物體作用力的大小和方向；
（3）小物體從p點拋出后的水平射程．

Answer 1

分析 （1）小物體經(jīng)過數(shù)字“8”的最低點時由牛頓第二定律可求管道對小物體作用力的大��；
（2）先假設(shè)小物體經(jīng)過數(shù)字“0”的最高點時管道對小物體作用力的方向向下，根據(jù)牛頓第二定律可求，再由正負判斷方向；
（3）根據(jù)平拋運動規(guī)律求解小物體從p點拋出后的水平射程．

解答 解：（1）設(shè)小物體經(jīng)過數(shù)字“8”的最低點時管道對小物體作用力為N₁，因為小物體運動過程中在每一個數(shù)字的最低點的速度大小均為v₁=3m/s，
由牛頓第二定律可得：N₁-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$
代入數(shù)據(jù)解得：N₁=mg+m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$=0.1×10+0.1×$\frac{{3}^{2}}{0.1}$=10N；
（2）設(shè)小物體經(jīng)過數(shù)字“0”的最高點時管道對小物體作用力的大小N₂，方向向下，
由牛頓第二定律得：N₂+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：N₂=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$-mg=0.1×$\frac{{1}^{2}}{0.2}$-0.1×10=-0.5N
所以小物體經(jīng)過數(shù)字“0”的最高點時管道對小物體作用力的大小為0.5N，方向向上；
（3）小物體從p點拋出后做平拋運動，
豎直方向上有：4r=$\frac{1}{2}$gt²
解得：t=$\sqrt{\frac{8r}{g}}$=$\sqrt{\frac{8×0.1}{10}}$=$\sqrt{0.08}$s
水平方向上有：x=v₂t=1×$\sqrt{0.08}$=$\frac{\sqrt{2}}{5}$m．
答：（1）小物體經(jīng)過數(shù)字“8”的最低點時管道對小物體作用力的大小為10N；
（2）小物體經(jīng)過數(shù)字“0”的最高點時管道對小物體作用力的大小為0.5N，方向向上；
（3）小物體從p點拋出后的水平射程為$\frac{\sqrt{2}}{5}$m．

點評 對于細圓管的作用力方向的判斷和細桿屬于一類，應(yīng)該先求出需要的向心力，根據(jù)向心力大小和重力大小關(guān)系確定管道對小物體作用力的大小和方向．